（1，K）循环截是在
的各子区间依K不同，各嵌入一个
根式表达已知，逼近
的有理序列可递推生成的无理数。
下面我们先将循环节长是2的循环截推到一般。
1.（p，q）循环截
E=pC0+C1，C0=qC1+C2，C1=pC2+C3，C2=qC3+C4，……极限地看，即都看往后的无限个辗转式，有
记E长为1，C0长为X
则C1长为（1-pX），C2长为X－q（1－pX）=（1+pq）X－q。
则此等式应一代数方程
即pX2+pqX－q=0
得
这就为（p，q）循环截的
的根式表达。
当p=1，q=K，就是（1，K）循环截的
的根式表达。由（p，q）循环截我们就可在
中依q不同嵌入无数个
根式表达已知的无理数。
例： （3，5）循环截
代公式（1），
依§2中列表计算：
辗转相截式 舍入近似中止辗转式
亏
盈约去的公度
显然由这节公式（1）得的是准确值（根式表达）。如果不从它法开平方根，则由此表得有理数序列而得
的近似值也不难。
2.（p，q，r）循环截
E=pC0+C1，C0=qC1+C2，C1=rC2+C3，C2=pC3+C4，……极限地，有
记E长为1，C0长为X，则C1=（1-pX）
C2长为X-q（1-pX）=（1+pq）X-q
C3长为（1-pX）-［r（1+pq）X-q］=-（p+r+rpq）X+1+rq，则等式
应代数方程
即（1+pq）X2+（p-q+r+rpq）X-（1+rq）=0
则
这就为（p，q，r）循环截的
的根式表达。
特别的，当p=q=1，r=K，即（1，1，K）循环截。
（1，1，K）得
当K→∞，有
读者自己去验之。
例：（1，1，3）循环截
由上述公式得
用§2中表格式，用前两周期辗转式得
（p，q，r）循环截，为在
中依q变依r变，密密地可嵌入根式表达已知的无限个多无理数。
3.凡循环截，则
皆有二次方程根式的平方根式表达式
（m0，m1，……，ml-1；m0，m1，……，ml-1；……）为循环节为L长的循环截。
由E=m0C0+C1，……，CL-2=mL-1+CL-2，CL-1=m0CL+CL+1，……极限地，必有
显然，各Ci的长度都可表为X的一次式，故
一定对应一二次方程，由此可得结论：
一定是此二次方程的根。
4.凡无限辗转相截过程，可由长度L=1，2，3，4，……的循环节的循环截逼近
设（m0，m1，m2，m3，……）为一无限辗转相截，
（m0，m0，m0，……）周期长为L=1的循环截
（m0，m1；m0，m1；……）周期长为L=2的循环截
（m0，m1，m2；m0，m1，m2；……）周期长为L=3的循环截
……
（m0，m1，…，mL-1；m0，m1…mL-1；……）周期长为L=L的循环截
……
L→∞“循环截”实“复原”（m0，m1，m2，……）。（数学上的∞就有如此之妙！）
由此便可肯定，任意一个无理数，总可由都是二次方程的根的平方根式表达的序列逼近！
例，（m0，m1，……）=（1，2，3，4，5，……）
求其逼近
的根式序列。
①记E长为1，C0长为X，求各Ci的长。
②用L=1，2，3，4……的周期性循环节逼近原辗转截
显然还可继续。当L=1，循环截（1，1，1，1，1……）与K=1等比截同；L=2，循环截为（1，2，1，2……）与K=2的（1，K）循环截同，注意§2中有理序列是“中止”辗转，只变Ci-1=miCi+Ci+1为Ci-1=miCi=miCi和Ci-1=（mi+1）Ci而有限步地返算回去。而这里是用了对以后的无限项的假设，将原无限辗转截的无限长尾巴变成了依L=1，2，3，……不同长周期循环截尾巴。所得根式值一定是在由有限一步，有限两步，……定的亏值、盈值之间。
例： （m0，m1，m2，……）=（9，1，8，7，2，1，1，5，9……）
①E长1，C0长X，求各Ci长。
②以L=1，2，3，4，5，6，7……为循环节的循环截逼近。
到现在，一个无理数的逼近，我们既有有规律操作的有理序列，又有有规律操作的平方根表达的无理数序列，丰富了§2的一般讨论。
这里举一综合应用诸方法的例子：
例 已知E=3C0+C1，C0=2C1+C2，C1=7C2+C3，C2=5C3+C4，C3=6C4+C5为一无限辗转相截的前五式，求无理数
的近似值。
方法一：（§2中法）
方法二：视C3=6C4+C5，……为K=6等比截，用§3公式
方法三：视C2=5C3+C4，C3=6C4+C5，……为（p，q）=（5，6）的循环截。用§5中（p，q）循环截得公式（1）
方法四：视C1=7C2+C3，C2=5C3+C4，C3=6C4+C5；……为（p、q、r）=（7、5、6）的循环截。则用§5中（2）式：
方法五：将所有已知五式视为无限循环截的一个循环节，则有
记E长为1，C0长为X，C1长则为（1-3X）。
C2长则为X-2（1-3X）=7X-2
C3长则为（1-3X）-7（7X-2）=-52X+15
C4长则为（-52X+15）-6（267X-77）=-1654X+477。
应
有
为-X的二次方程267X2+1577X-477=0
由此
通过这一例，将我们讲过的方法都验了一遍。方法一是§2的，方法二至方法五则是对未知的无限步作不同假设用已得公式。显然，其值都在方法一决定的亏盈二值之间。每法都是用尽已知信息，精度也都在同一水平。说明虽然我们是从不同角度讨论这无限辗转相截，但没有出矛盾！
任意一个无限辗转相截，可以用循环节L=1，2，3……的循环截逐替而逼近。而
L=1，2，3……之每个假设又应一关于X（记E长为1，C0长为X）的二次方程。由此，这任意无限辗转相截生成之无理数
又表为了这序列二次方程根之极限！这是讨论一般循环截之结论。(www.chuimin.cn)
从§2开始，以辗转相截说实数。然后又以研究无限辗转相截研究无理数，没有陷入“无限不循环小数”那一把10-nE定的小巷，而是“近距离”具体畅览了这无理数世界。§2～§5只是七旬老人之跛脚导游。这样的讨论实数，会美不胜收！等着年轻的朋友！
§6的步进开平方公式序列，是在讨论等比截中之一顺手牵之一肥羊，其味也无穷。
附1：逼近无理数
的序列的代数方程法
在本节处理循环截时，我们设E长为1，C0长为X，并将C1，C2……都用X的一次式表其长。这里，我们索性用等号，将E，C0，C1，……代数化。如下例：
在§2中，我们说“舍”Ci，到这里不就是让Ci=0，那里是返算回去，这里就直接解方程：
令C1=0，得
由于C1＞0，即1-2X真＞0，故
这里得的
当为
的盈值。
令C2=0，得
由于C2=11X真-5＞0，故
故这里得的
当为
的亏值。
皆如此运算，我们先得由“舍”而得之各项如右：
所空之亏或盈，显然该是§2中之“入”Ci为一个Ci-1，而得。于这里，便是令Ci=Ci-1。
由C1=C0，1-2X=X，得
由C2=C1，11X-5=1-2X，得
由C3=C2，41-90X=11X-5，得
显然，空处之X值为近两亏盈值之分子加分子，分母加分母便得。
如此例，
亏，
盈，序列便如右完成。
显然，只要将辗转相截式转为代数式无误，这样形成逼近
的有理亏序列，有理盈序列比§2中之返算快捷些。
例：
以上则实现§2的运算。令C1=0和C1=C0，显然约去的公度也就是C0，……，步步如此！
不妨以此例再做L=1，2，3，……的循环截逼近。
前面的有理数序列，每项是从辗转截的前有限辗转步得，有
盈，
亏。而循环截逼近，是假设了以后的无限辗转是循环，假设后得的
式序列的表达，故其值一定在前面的序列中相应的
亏，
盈之间。
附2：对循环节全知的无限循环截都可有
的有理逼近序列的递推式和
的确凿根式表达式，论述如下。
1.先看（1，K）循环截，（1，1，K）循环截、（1，1，1，K）循环截这一类
我们就以（1，1，1，K）循环截细述：
①从第一循环节得p1，q1，
这是由C2=KC3+C4对余C4作舍和入C4为一个C3，以C3为公度，返算回C0、E，然后又在
比时约去公度C3，§4节中，我们引入了“赋值句”（计算机语句），若在上面两列前面加上C3=1赋值句，则返算过程中便不见C3字母符号了，等着数值计算。
求
这不等式将
亏，
盈也表明白了。
②从pi-1，qi-1递推pi，qi
要得pi，qi，需经过共i个循环节，要从第i个循环节开始返算，第i个循环节的最末一句是C4i-2=KC4i-1+C4i，舍C4i；或入C4i后，以C4i-1为公度返算，返算至C0得pi，返算到E是qi，而pi-1、qi-1的返算比pi、qi要少一个循环节，故只要返算式的最前加面加了赋值句C4i-1=1，则过程中全不受C4i-1字母符分干扰！！
由此便得递推式：
由于这里循环节长L=4，故递推式无盈、亏摆动而左右交叉
约去的是公度C4i-1不左右摆动地依i=2，3，4……递推
在递推式中令K=4，为（1，1，1，4）循环截，并令
则递推式两端取极限，可得
2014年，我们欲几何作图证
从（1，1，1，4）循环截，未果！解方程X2=7不能说其无限循环，今在此得确凿证明，并可从递推式得其欲得精度之近似值
依 0.642857142 0.647058823
递推 0.64573991 0.645756457
仔细查读（2）式（3）式，（1，1，K）循环截，（1，K）循环截所需数据都在里边：
对（1，1，K），可查得
由于L=3，递推时盈亏摆动，有左、右交叉。
令
设
也即
上面递推式要端取极限，便有
代K=9，即（1，1，9）循环截：
依
递推
显然
的近似值也可由此得。
对（1，K）循环截，从（2）式中我们找到
从（3）中，我们找出了
由于循环节L长为2，故递推时不盈亏左右交叉摆动。
在§4中，我们是盈亏分别用字母，并左右兼看变化，才有游龙式递推，个性强并用了归纳法，也有趣味。
例：取K=3，则用
递推
注意的是，这里用“赋值句”前置而避开返算过程中公度字母的纠缠，正是在§4节萌生的，所以对§4要深入领会，再是引入了“赋值句”，辗转相截句也可计算机接受了，这是年轻人的必由之路！！
这样的对已知循环节的无循环截，显然还可使因循环节短而收敛慢的循环截加速收敛。
2.长鞭打慢牛——加速算法
收敛最慢者，要算K=1的等比截，我们以十个1构成一个循环截节L=10的长循环节做无限循环截
①由第一循环节得p1，q1
②由pi-1，qi-1递推pi，qi
得pi、qi要经过10i个循环节，第10i个循环节的最后句该是C10i-2=C10i-1+C10i，舍C10i或入C10i为一个C10i-1的起返算的，要赋值句是C10i-1=1，运行到C0便为pi，到E便为qi，而pi-1，qi-1，只比pi，qi少经一个循环节，即运行到C10=C11+C12便得pi-1值，运行到C9=C10+C11便得qi-1值。
得递推公式为
由于L=10故不盈亏左右交叉摆动
依 0.617977…… 0.6180555
递推 0.618033985 0.61803399
由此可得结论：凡是已知循环节的无限循环截，都可以这样的有逼近
的有理数序列的递推生成，都可有用二次根式表达的确凿
表达式，对循环节越长者，收敛得越快，对循环节L短者，可以nL为新的长循环“加鞭”！
对
的“加鞭”！
以九个2构成（2，2，2，2，2，2，2，2，2）循环截，依上面同样方法，可得：
递推式
由于L=9，故递推中是盈亏摆动左右交叉。
依
对
的“加鞭”！
以五个（1，2）构成L=10的无限循环截（1，2，1，2，1，2，1，2）循环截：
由于L=10，故不盈亏摆动左右交叉。
§4将计算机用赋值句引，并将辗转相截句也用计算机算法语一样运行，这对年轻人再“辗转”，尤为必要，本册中所有方法都是计算机可为或人机对话而为的，故在§5后附此文很有必要，我是只讲过数值分析（李庆杨本）而不动手操机的，所以在众人“换笔”的时候我“拙”了！望读我册时，将数值题都能计算机上过一遍，尽量少误传！
有关辗转相截法的文章
E=C0+C1，C0=KC1+C2，C1=C2+C3，C2=KC3+C4，……只要我们给出（m0，m1，m2，……这节，我们也试图找出（1，K）循环截的逼近的亏、盈有理序列的递推生成规律。从一个循环节得p1，q1，r1，S1，从两个循环节得p2，q2，r2，S2。），可称这为（K，1）循环截。可知，从C0=C1+C2起的无穷截为（1，K）循环截，故这便为（K，1）循环截的的根式表达。）决定的m0增大，趋向0+（1，m1……推（1，K）循环截递推公式时，为啥我们只应公度C1，C3，C5，……......
2023-10-21
如图示例：故：公度C2被约去以短截其长，有余则返而截，这就叫辗转相截。辗转至无余的整截式出现为止；或者是不停地辗转截下去。ri为余数，到最后一定有ri-1=miri这无余式，则ri为p、q的最大公约数，对任二整数，这样的有限辗转相除一定有。而对无公度的二线段，则只有无限辗转相截而不存在辗转除之说了。......
2023-10-21
§3、§4相应K的等比截或循环截的的根式表达式及序列递推公式一起，显然可为相应根式的数字计算式。但未盖所有正整数的开平方。的收敛条件都保证，故以换X0，上结论便转为：并注意在递推公式中，对K也无非整不可要求。不可转为步进开平方公式么？看递推式，形式的表达，代入便是在递推中，是否有形式的逼近的子序列呢，答案是肯定的。递推，便得逼近的形如的子序列。容易计算得为适合于手算开平方的三个公式。......
2023-10-21
故OX2=-E-C0，而坐标如果我们以n一般地表整数，一般地可表实数为：C0都为自nE点起，再正向（向右有）C0。有理数、无理数，我们统称为实数，数轴也称实数轴。称为逼近的单减盈有理数序列。实轴是连续直线，故实数也是连续的；直线上点有前后故实数也有前后或曰大小。在任两实数X1＜X2间，都可随心所欲地嵌入无数个有理数，无数无理数！所以，实数的引入，是从可数（shǔ）个数到连续数的本质性的突变。......
2023-10-21
辗转相截结构，定为根的x的层层区间套，对每一根而言，也必有在其左右侧，f-a的反号，而mi则由恰反号的K*，K*+1定。对f，就辗转相截法而言，无须f自身性质的苛求，只要对每xk可计算，一式可，一段程序可，甚一实验也可。一般依其对f的简单认识和问题所需来。在过程中逐步加深对f的认识，更有利于求解。......
2023-10-21
先看“K等比截”一类。我们称为“K等比截”。由于每Ci-1=KCi+Ci+1起以后的无限步，与E=KC0+C1起以后的无限步是一样的，故一定有也是因此我们称之为等比截。经这样比较，我们便有递推公式从起，依此递推，得一盈、亏、盈、亏……各区间内各一个的无限个状况全知的一类无理数，K等比截一类。数值序列，可依递推公式得其欲得之精确度之近似值。K值低，收敛慢。，即C0与E有K=2X0的等比截。代则②①便表达了“K等比截”及其的根式表达式式。......
2023-10-21
《隋书·律历志》是这样述祖冲之研究圆率的：以圆径一亿为一丈。去度量圆，这由祖冲之的两个“率”表达便知：有“圆径”D“一百十三”，又有“圆径”D“七”，显然两率中D与L是用不同“公度”在言！故，祖冲之应当是继续不实操作的继续辗转相截了的。祖冲之的缀圆，本质地，已开了在弧上坐标的先河。然由祖冲之之术为“缀术”，用丝线将D柔化，在圆弧上之每“截”以针线“缀”之，便为老祖宗之实。......
2023-10-21
“待定K”法，是确定确定而未知的的辗转相截构造的有效方法。“待定K”法，步步有衔接，每步中，必为前面已有的一盈一亏值，K=0，K→∞，为渐近线，这二值都不会再取。例如，我们解这样一方程X5=15.49638921其右端有意取1.735，我们将说明，既使用“待定K”法解方程，且由15＜15.49638921＜25定则这一定是在有限步“待定K”法得到。，y′=0，即tanx+x=0，代有tanx+x=0.0011459，故“待定K”法得之极大点可信（注意，若解y′=0，此方程还难解？！......
2023-10-21
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