辗转相截法：1，K，1，K循环截果

2023-10-21 理论教育版权反馈

【摘要】：E=C0+C1，C0=KC1+C2，C1=C2+C3，C2=KC3+C4，……只要我们给出（m0，m1，m2，……这节，我们也试图找出（1，K）循环截的逼近的亏、盈有理序列的递推生成规律。从一个循环节得p1，q1，r1，S1，从两个循环节得p2，q2，r2，S2。），可称这为（K，1）循环截。可知，从C0=C1+C2起的无穷截为（1，K）循环截，故这便为（K，1）循环截的的根式表达。）决定的m0增大，趋向0+（1，m1……推（1，K）循环截递推公式时，为啥我们只应公度C1，C3，C5，……

E=C0+C1，C0=KC1+C2，C1=C2+C3，C2=KC3+C4，……，我们称为（1，K）循环截。由K不同取值，而为一类。

这里，我们先讲一下§2中无理数用有理序列表达的那张表的计算机自动生成，这对累繁问题的表述是有帮助的。

只要我们给出（m0，m1，m2，……）一个无限的正整数数组，则辗转相截式E=m0C0+C1，……Ci-1=miCi+Ci+1，……计算机自动可列出，“舍”“入”近似“中止辗转”式E=m0C0及E=（m0+1）C0；……；Ci-1=miCi及Ci-1=（mi+1）Ci；……也自动可列出，有理序列的计算生成，是如下的：

由Ci-1=miCi+Ci+1有如下舍Ci+1，入Ci+1，两列算：

即每步带着公度字母Ci作返回算的两列计算。而最后比时，Ci都要约掉。如果我们在此次计算的最前面加一句Ci=1赋值句，则以下每步表现为只及mi，mi-1，……，m0的数值计算了。即：

用以代上面之左列计算，诸Ci及E都视为了“机算程序”的“变量”，这为计算机可接受语句！换其中Ci-1=miCi为Ci-1=（mi+1）Ci，则又为上面之右列计算之机算程序。

这节，我们也试图找出（1，K）循环截的逼近的亏、盈有理序列的递推生成规律。我们以每循环节计一次亏、盈序列项。由于每次“中止”发生在C0=KC1+C2，C2=KC3+C4，……，故总是“舍”对应的亏。“入”对应的盈，故我们可一致用 pagenumber_ebook=38,pagenumber_book=22 符号，下面用数学归纳法。从一个循环节得p1，q1，r1，S1，从两个循环节得p2，q2，r2，S2。

比较两边的据算结果，有：

存在

这样的游龙递推关系递推，这是从n=1到n=2

现假设从n=i-1到n=i这种递推关系成立，即有pi=KSi-1

我们下面证明从n=i到n=i+1，也有这种关系。

这里要i+1个循环节才能得pi+1，qi+1，故须以C2（i+1）-1为公度返算，故最前面当置C2i+1=1赋值句，而返回各步计算不受公度纠缠，其值只与是多少个循环节算得的有关。

n=1到n=2递推关系（1）成立，假设由n=i-1到n=i递推关系（1）成立又可证n=i到n=i+1此关系式（1）也成立，故依归纳法，对任n，这种递推关系都成立。总之，第一式 pagenumber_ebook=40,pagenumber_book=24 约去公度C1

记p1=K，q1=K+1，r1=K+1，S1=K+2，则序列如下

可游龙式递推生成，pi+1=KSi，qi+1=pi+1+ri，ri+1=qi+1，Si+1=ri+1+Si

由递推公式，我们不难导出根式表达。

由 pagenumber_ebook=40,pagenumber_book=24

注意i→∞时，有 pagenumber_ebook=40,pagenumber_book=24 也有设此极限为X，则对上式两端取极限，可得

即X2+KX-K=0(www.chuimin.cn)

由此得（1，K）循环截所得的根式表达式为

例　K=5的（1，5）循环截。

注意，K=1的等比截， pagenumber_ebook=41,pagenumber_book=25 K=1的（1，1）循环截，也有实际上，（m0，m1，m2……）=（1，1，1，1，1……）辗转截式完全一样。有点不同在递推时，K等比截递推，是应公度C0、C1、C2、……都有序列的项。（1，K）循环截的递推，只取了应公度C1，C3，C5，……的序列项。依后者得的是依前者得的子序列。（K，K）等比截，（1，K）循环截，二者合在一起，是对（0，……， pagenumber_ebook=41,pagenumber_book=25 ……，1）中每一子区间嵌入了一个状态完全明白的无理数。这两类无理数是最基础的。