从无限辗转相截定义无理数，给我们开了研究无理数之大门。先看“K等比截”一类。
我们称为“K等比截”。由于每Ci-1=KCi+Ci+1起以后的无限步，与E=KC0+C1起以后的无限步是一样的，故一定有
也是因此我们称之为等比截。由（2）中每一等式
及相应的Ci-1=KCi+Ci+1知，图示各量关系，
于此，若记Ci-1长度为1，Ci长度为X，Ci+1长为1-KX，则有相应代数方程
由此可解得
这就为（2）中各比
的根式表达（2）式表为
下面我们再从“舍”“入”中止辗转来讲逼近
的有理序列。
在E=KC0+C1步便“舍”“入”近似为E=KC0，E=（K+1）C0而中止。
由此得
我们记此为序列的X0，约去的是C0。自
起的Xn-1的计算和Xn的计算分别两列如下：
左边，是最后约掉Cn-1，右边是最后约掉Cn。而每一左、右相平的行的左边或右边式，K参与的运算都是一样的。除去所带的，最后要约去的公度不看，至①步，得Xn-1分子；于②步，得的是Xn-1的分母，Xn的分子；而于③之Xn的分母，是②步值（即Xn-1分母值）乘以K再加①步值（Xn-1的分子之值）。经这样比较，我们便有递推公式
从
起，依此递推，得一盈、亏、盈、亏……摆动序列；再从
起，也依（6）递推，便得另一亏、盈、亏、盈摆动序列。依K=1，2，3，4，……之不同便得被套于
……各区间内各一个的无限个状况全知的一类无理数，K等比截一类（见第20页表）。
例：由E=3C0+C1，C0=3C1+C2，……，即K=3的等比截，求其
解(www.chuimin.cn)
确凿表
只能是根式。数值序列，可依递推公式得其欲得之精确度之近似值。
K=1，从
起可得
的任欲得近似值。K值低，收敛慢。从
及递推时分母之乘K知，K越大，收敛（即向
真值集中）越快，套
的区间套也可表为
不等式串这种形式，可直观表示其区间套之逐步致紧！
附：以上我们是以最简洁的文字表述。实际上（4）（5）之得到，还有另法。
方法一：从递推公式得根式表达
设
则上式两端取极限便有
方法二：几何辗转截，如图
E和X0E为直角三角形二直角边，X0E为任长，即X0为任正数。
依勾股定理，有
而C0与E有：E=2X0C0+C1，C0=2X0C1+C2，……，即C0与E有K=2X0的等比截。 ②
从图知，①②关系同时存在，且E＞C0＞C1＞C2＞……收敛条件不依X0如何取正实数而变。代
则②①便表达了“K等比截”及其
的根式表达式（5）式。
这几何图中之X0或K=2X0的不必整数要求为下面我们得步进开平方公式作了准备。
有关辗转相截法的文章
E=C0+C1，C0=KC1+C2，C1=C2+C3，C2=KC3+C4，……只要我们给出（m0，m1，m2，……这节，我们也试图找出（1，K）循环截的逼近的亏、盈有理序列的递推生成规律。从一个循环节得p1，q1，r1，S1，从两个循环节得p2，q2，r2，S2。），可称这为（K，1）循环截。可知，从C0=C1+C2起的无穷截为（1，K）循环截，故这便为（K，1）循环截的的根式表达。）决定的m0增大，趋向0+（1，m1……推（1，K）循环截递推公式时，为啥我们只应公度C1，C3，C5，……......
2023-10-21
如图示例：故：公度C2被约去以短截其长，有余则返而截，这就叫辗转相截。辗转至无余的整截式出现为止；或者是不停地辗转截下去。ri为余数，到最后一定有ri-1=miri这无余式，则ri为p、q的最大公约数，对任二整数，这样的有限辗转相除一定有。而对无公度的二线段，则只有无限辗转相截而不存在辗转除之说了。......
2023-10-21
§3、§4相应K的等比截或循环截的的根式表达式及序列递推公式一起，显然可为相应根式的数字计算式。但未盖所有正整数的开平方。的收敛条件都保证，故以换X0，上结论便转为：并注意在递推公式中，对K也无非整不可要求。不可转为步进开平方公式么？看递推式，形式的表达，代入便是在递推中，是否有形式的逼近的子序列呢，答案是肯定的。递推，便得逼近的形如的子序列。容易计算得为适合于手算开平方的三个公式。......
2023-10-21
下面我们先将循环节长是2的循环截推到一般。则此等式应一代数方程即pX2+pqX－q=0得这就为（p，q）循环截的的根式表达。的周期性循环节逼近原辗转截显然还可继续。不同长周期循环截尾巴。用§5中（p，q）循环截得公式方法四：视C1=7C2+C3，C2=5C3+C4，C3=6C4+C5；……则用§5中式：方法五：将所有已知五式视为无限循环截的一个循环节，则有记E长为1，C0长为X，C1长则为。的循环截逐替而逼近。这是讨论一般循环截之结论。......
2023-10-21
故OX2=-E-C0，而坐标如果我们以n一般地表整数，一般地可表实数为：C0都为自nE点起，再正向（向右有）C0。有理数、无理数，我们统称为实数，数轴也称实数轴。称为逼近的单减盈有理数序列。实轴是连续直线，故实数也是连续的；直线上点有前后故实数也有前后或曰大小。在任两实数X1＜X2间，都可随心所欲地嵌入无数个有理数，无数无理数！所以，实数的引入，是从可数（shǔ）个数到连续数的本质性的突变。......
2023-10-21
《隋书·律历志》是这样述祖冲之研究圆率的：以圆径一亿为一丈。去度量圆，这由祖冲之的两个“率”表达便知：有“圆径”D“一百十三”，又有“圆径”D“七”，显然两率中D与L是用不同“公度”在言！故，祖冲之应当是继续不实操作的继续辗转相截了的。祖冲之的缀圆，本质地，已开了在弧上坐标的先河。然由祖冲之之术为“缀术”，用丝线将D柔化，在圆弧上之每“截”以针线“缀”之，便为老祖宗之实。......
2023-10-21
辗转相截结构，定为根的x的层层区间套，对每一根而言，也必有在其左右侧，f-a的反号，而mi则由恰反号的K*，K*+1定。对f，就辗转相截法而言，无须f自身性质的苛求，只要对每xk可计算，一式可，一段程序可，甚一实验也可。一般依其对f的简单认识和问题所需来。在过程中逐步加深对f的认识，更有利于求解。......
2023-10-21
“待定K”法，是确定确定而未知的的辗转相截构造的有效方法。“待定K”法，步步有衔接，每步中，必为前面已有的一盈一亏值，K=0，K→∞，为渐近线，这二值都不会再取。例如，我们解这样一方程X5=15.49638921其右端有意取1.735，我们将说明，既使用“待定K”法解方程，且由15＜15.49638921＜25定则这一定是在有限步“待定K”法得到。，y′=0，即tanx+x=0，代有tanx+x=0.0011459，故“待定K”法得之极大点可信（注意，若解y′=0，此方程还难解？！......
2023-10-21
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