辗转相截法：公度的应用

2023-10-21 理论教育版权反馈

【摘要】：如图示例：故：公度C2被约去以短截其长，有余则返而截，这就叫辗转相截。辗转至无余的整截式出现为止；或者是不停地辗转截下去。ri为余数，到最后一定有ri-1=miri这无余式，则ri为p、q的最大公约数，对任二整数，这样的有限辗转相除一定有。而对无公度的二线段，则只有无限辗转相截而不存在辗转除之说了。

1.公　度

设a、b为二线段，如果存在线段c，它可同时整截尽a和b，我们则称c为a、b二线段的的公度。用等式表达，即有a=pc，b=qc，其中p、q皆整数。此时，a/b=pc/qc=p/q。二线段比便可表成二整数比，而公度被约掉。如我们说“勾三股四弦五”时，实际是已约去了勾股弦三边的公度。

如果c为a、b二线段的公度，将c再r（也整数）分得的c′=c/r也一定是a、b的公度，由a=pc，b=qc，显然a=prc′，b=qrc′，pr、qr皆整数但非既约，当我们说a与b的公度时，一般指其最大公度，若c为最大公度，则如上的p与q一定是既约了的。

2.辗转相截求二线段公度

设a＞b，我们先以短截长。如图示例：

故： pagenumber_ebook=18,pagenumber_book=2 公度C2被约去

以短截其长，有余则返而截，这就叫辗转相截。辗转至无余的整截式出现为止；或者是不停地辗转截下去。

3.存在两线段没公度情形

如等腰直角三角形的直角边与斜边，如图我们用作图法辗转相截：

以E表直角边，X表斜边，依次有：X=E+C0，E=2C0+C1，而C1与C0的关系又重复C0与E的关系，即C0=2C1+C2，且这样的关系可如图作图中的层层相似地无限地继续下去：X=E+C0，E=2C0+C1，C0=2C1+C2，Cl=2C2+C3，……，没完没了，每截总是有余，总找不到公度。

4.两点说明

（1）如果二线段有公度，则此公度一定会在辗转相截的有限步出现。

设已有a=pc，b=qc，a＞b＞c是线段，p＞q皆整数。则于首截a=mb+C0中，一定有C0=（p-mq）C，因为是m次整截，则为q对p之整除，由此知，以后之每“余”，也一定是C的整倍数，故总会有Ci=mic而终止辗转，mi≥1，C由辗转相截法定为公度。

事实上，如果a＞b二线段有公度c，则有a=pc，b=qc，p＞q为二正整数。以p、q作辗转相除，有

其中m0，……mi；为整除数，而r1，……ri为余数，到最后一定有ri-1=miri这无余式，则ri为p、q的最大公约数，对任二整数，这样的有限辗转相除一定有。当最后ri=1，则说明p、q既约。

将（1）的各式两端乘以C，则（1）式变成a，b间的辗转相截式

例1：设a=369C，b=125C

例2：设a=369C，b=126C则(www.chuimin.cn)

9为369与126的最大公约数C1=9C为a、b的最大公度

二线段a＞b有公度c，则公度c如像截葱段式将连续度量线段a，b的问题离散化地“处理”了，故可辗转除代辗转截。而对无公度的二线段，则只有无限辗转相截而不存在辗转除之说了。

（2）当我们是物质性地凭人眼和规尺作图辗转相截时，总可找到二线段的“公度”。因为物质性工具之“截”总会有“物理限制”，而不会“无穷”的。中国魏晋时期（公元前263年）刘徽在《九章算术》中言“割之又割，以至不可再割”而言“相合”，就是以“割”操作之“物理限制”而言“不可再割”！而上面举之无限辗转相截之例是依几何地可证其层层相似作图来判定的，这依赖了阿基米德的线无宽度，点无长度，任短线段都可细分的假设的。中国人也有“一尺之棰，日取其半，万世莫竭”语，将这“棰”视作阿基米德线段，这句话成立。若真较真“棰”，分“棰”则一定不会无限！对无公度的二线段，只有几何的无限辗转相截，显然难言所谓辗转相除了。

例：设已得线段C0与E的辗转相截式为E=3C0+C1，C0=2C1+C2，C1=7C2+C3，试求的近似值。