数值解逼近及应用：不动点与零点的迭代逼近

分裂可行问题Split Feasibility Problem(SEP)是由Censor 和Elfving 在1994 首先提出的,该问题描述如下:寻找一个点x∗使得

其中C 和Q 分别是Hilbert 空间H1和H2的非空闭凸子集,A 是由H1到H2的有界线性算子.

在过去20年,许多学者都对分裂可行问题的数值逼近进行了研究提出了若干算法,比如Byrne 展示了他们的CQ 算法,杨庆之介绍了松弛CQ算法,曾六川等介绍了外梯度法.但是他们的方法都有一定的缺陷,不是算法的步长依赖于算子范数就是投影PC和PQ并不轻松.为了客服这些困难,López 等介绍了如下的自适应步长算法:

xk＋1=PCk(I-τkA∗(I-PQk)A)xk,k∈ℕ,

其中步长τk由下式计算

参数0<ρk<4,inf ρk(4-ρk)>0.López 等介绍的这个算法弱收敛于分裂可行问题的解.

随着分裂可行问题的进一步研究,另外好几种分裂问题被相继提出来被深入研究.比如分裂变分不等式问题、分裂公共零点问题、分裂公共不动点问题等.最近,Moudafi 介绍了关于集值极大单调映射B1和B2的分裂变分包含问题Split Variational Inclusion Problem(SVIP):寻找x∗∈H1使得

和

为了获得SVIP 的近似解,Byrne 等提出了以下迭代算法:

并在适当的条件下获得了序列的弱收敛性.但是,人们更希望能获得算法的强收敛性因为该类问题的应用非常广泛,所以人们不断地尝试对算法进行修正,或者提出一些新的方法.最近,Deepho 和Kumam 介绍了如下混合最速下降法来获得约束最小化问题与SVIP 的公共解:

其中,Sn是非扩张映射,L 是的Lipschitz 系数.更近一些时候,Sitthithakerngkiet 等介绍了如下的迭代算法来获得SVIP与一族非扩张映射不动点问题的公共解:

其中u∈H1是一个给定的点,{Wn}是一族非扩张映射,步长γ 依赖与算子A 的范数.

设C 是希尔伯特空间H 的子集.对任意的x∈H,在C 中存在唯一的最近点,记作PCx 使得

‖x-PCx‖=min{‖x-y‖:y∈C}.

称算子PC为H 到C 的测度投影,其具有如下一些性质:

〈x-y,PCx-PCy〉≥‖PCx-PCy‖2,∀x,y∈H.

另外,对任意的x∈H 和y∈C,

定义　设H 是实Hilbert 空间.令D⊂H 为H 的子集且h:D→H 是由D到H 的算子.

①称h 是ν-逆强单调的,若存在实数ν>0 使得

〈h(x)-h(y),x-y〉≥ν‖h(x)-h(y)‖2,∀x,y∈D.

②称h 为严格非扩张的,若

〈h(x)-h(y),x-y〉≥‖h(x)-h(y)‖2,∀x,y∈D.

③称h 是具有参数κ>0 且Lipschitz 连续的,若

‖h(x)-h(y)‖≤κ‖x-y‖,∀x,y∈D.

④称h 是非扩张的,若

‖h(x)-h(y)‖≤‖x-y‖,∀x,y∈D.

⑤称h 是半连续的,若它沿每条线都是连续的.

⑥称h 是平均算子,若存在非扩张算子T:D→H 和实数c∈(0,1)使得

h=(1-c)I＋cT.

经过深入的研究后,变步长算法不仅可以解决分裂可行问题,该思想也可应用于求解分裂变分包含问题.为了方便使用修正的变步长算法来获得分裂变分包含问题的解,本节将介绍两个辅助函数

并记

其中(I＋λB)-1,λ>0.根据Aubin 的结论,可知f 和h 都是下半连续且凸可微的.我们记分裂变分包含问题的解集为

Ω={x∗∈H1:0∈B1(x∗),0∈B2(Ax∗)}.

在整个讨论中,假设H1和H2是Hilbert 空间,A:H1→H2是有界线性算子,A∗表示A 的对偶转置(在有限维的情况下,A∗=AT).

算法1　选择正实数列{ρn}满足0<ρn<4 和inf ρn(4-ρn)>0.选定任意的起始点x0并设置n=0.

迭代步骤　给定xn(n≥0),计算

以及下一步

停止标准　若xn＋1=xn则停止迭代,否则令n:=n＋1 并返回迭代步骤.

算法2　选择正实数列{ρn}满足0<ρn<4 和inf ρn(4-ρn)>0.选定任意的起始点x0并设置n=0.

迭代步骤　给定xn(n≥0),计算

以及下一步

停止标准　若xn＋1=xn则停止迭代,否则令n:=n＋1 并返回迭代步骤.

算法3　选择正实数列{ρn}满足0<ρn<4 和inf ρn(4-ρn)>0.选定任意的起始点x0并设置n=0.

迭代步骤　给定xn(n≥0),计算

以及下一步

和

停止标准　若xn＋1=xn则停止迭代,否则令n:=n＋1 并返回迭代步骤.

引理1　函数f:H2→ℝ 定义为,h:H1→ℝ 定义为,则函数F 和H 都是Lipschitz 连续的.

证明　由于,因此

其中L=‖A∗A‖.另一方面,

从而可得

这意味着F 是逆强单调的.因此,

〈F(x)-F(y),x-y〉≤‖F(x)-F(y)‖·‖x-y‖,

从而‖F(x)-F(y)‖≤L‖x-y‖.类似地,可推知H 是Lipschitz 连续的.

定理1　设H1和H2是两个Hilbert 空间且A:H1→H2是有界线性算子.假定B1:H1→2H1 和B2:H2→2H2 是极大单调映射且Ω≠∅,则由算法1生成的序列{xn}弱收敛于Ω 中的元素.

证明　记,由于 是严格非扩张的,因此Tn是平均算子且是平均的非扩张算子,所以由算法1 产生的序列{xn}弱收敛于算子的不动点x∗.

下面将说明x∗∈Ω,即.

因为Ω≠∅,为了不失一般性,不妨取z∈Ω,这表明,Az=,因此Az=Az-Az=0.又因为,所以是严格非扩张的,从而

以及

这表明‖xn＋1-z‖≤‖xn-z‖,因此序列{‖xn-z‖}有界且{‖xn-z‖}的极限存在.注意到

因为F 和H 是Lipschitz 连续的,所以F(xn)和H(xn)是有界的.另外,因为inf ρn(4-ρn)>0,所以f(xn)→0,当n→∞.由于算法1 生成的序列{xn}弱收敛于x∗,注意到函数f 是下半连续的,因此

即

这说明,Ax∗是的一个不动点,或者说,因此可得Ax∗∈或0∈B2(Ax∗).

另外,由于x∗是算子的一个不动点,这表明x∗=因为=0 所以x∗=x∗,从而,这表明x∗是的一个不动点,故可得,进而x∗∈Ω.

定理2　设H1和H2是两个Hilbert 空间且A:H1→H2是有界线性算子.假定B1:H1→2H1 和B2:H2→2H2 是极大单调映射且Ω≠∅.序列{αn}在(0,1)且

则由算法2 生成的序列{xn}强收敛于z∈Ω.

证明　如同定理2 的证明过程一样,算子是平均的.因此根据Halpern Suzuki 定理可知,由算法2 产生的任意序列{xn}都将强收敛于只要这个集合是非空的.从而可得z∈Ω.

至于算法3 的强收敛性,将先介绍Ω 的最小元,即如下问题的解:

argmin{‖x‖:x AJG SVIP A5D=b}

定理3　设H1和H2是两个Hilbert 空间且A:H1→H2是有界线性算子.假定B1:H1→2H1 和B2:H2→2H2 是极大单调映射且Ω≠∅.参数序列{αn},{βn},{γn}在区间(0,1)内,且满足αn＋γn≤1 和

则由算法3 生成的序列{xn}和{yn}强收敛于z=PΩ(0),即Ω 中的最小元.

证明　将分几步来阐述以上结论.

第一步:我们将说明序列{xn}和{yn}是有界的.因为Ω 非空,所以取任意的p∈Ω,根据推导可知和都是非扩张的,且

以及

这表明序列{xn}有界,从而序列{yn}也是有界的.

第二步:将说明‖xn＋1-xn‖→0 和xn→z,其中z=PΩ(0)是集合Ω 的最小元.为了达到此目的,我们记 和un=,对于点z=PΩ(0),如同定理2 的证明一样,可得

因此有

类似地,

这表明

‖un-z‖≤‖yn-z‖.

为方便说明以上结论,另外设vn=(1-αn)yn＋αnun,则yn-vn=αn(ynun),因此xn＋1=(1-γn)vn-γnαn(yn-un)且有

和

另外可得

另一方面,根据算法3 的迭代式,有

这意味着

下面将考虑序列{‖xn-z‖2}收敛的两种可能情况.

CaseⅠ．假设{‖xn-z‖}是非增长的,则存在n0≥0 使得对于任意的n≥n0,都有‖xn＋1-z‖≤‖xn-z‖.因此极限 ‖xn-z‖存在并且由于,则可得

(1-αn-γn)αn‖un-yn‖2→0,

和

注意到条件lim inf(1-αn-γn)αn>0 和inf ρn(4-ρn)>0,inf(1-γn)(1-βn)>0,inf(1-βn)βn>0,并且F 和H 都在Lipschitz 连续,因此

从而推知f(yn)→0,f(xn)→0 和‖un-yn‖→0 和‖wn-xn‖2→0,当n→∞并且有‖xn＋1-yn‖→0,进一步可得,‖yn-xn‖=(1-βn)‖wn-xn‖→0.所以,

‖xn＋1-xn‖≤‖xn＋1-yn‖＋‖yn-xn‖→0.

另外,因为

根据投影算子的性质可知〈0-PΩ(0),y-PΩ(0)〉≤0,∀y∈Ω,因此

由于γn→0,故序列{xn}强收敛于z=PΩ(0).另外再次根据投影算子的性质,对于任意的p∈Ω,

〈p-z,-z〉≤0⇔‖z‖2≤‖z‖‖p‖⇒‖z‖≤‖p‖,

这表明z 是分裂变包含问题的最小范数解.

CaseⅡ．若序列‖xn-z‖2 是单调递增的,则容易看出‖wn-xn‖→0 和‖un-yn‖→0.因为γn→0,从而有‖xn＋1-xn‖≤‖xn＋1-yn‖＋‖ynxn‖→0.

为了不失一般性,假设存在{‖xn-z‖}的子序列{‖xnk-z‖}使得‖xnk-z‖≤‖xnk＋1-z‖对任意的k∈ℕ.此时我们定义一个指标

σ(n)=max{m≤n:‖xm-z‖≤‖xm＋1-z‖}

则σ(n)→∞当n→∞和‖xσ(n)-z‖2≤‖xσ(n)＋1-z‖2,因此有

由于γσ(n)→0 当n→∞,类似于CaseⅠ的证明过程,我们得到

和

因此

综合上面两式可知

因此

进一步得

所以.从而有

0≤‖xn-z‖2≤max{‖xσ(n)-z‖2,‖xn-z‖2}≤‖xσ(n)＋1-z‖2→0.

所以序列{xn}强收敛z=PΩ(0),这是Ω 得最小范数元.

推论　设H1和H2是两个Hilbert 空间且A:H1→H2是有界线性算子.假定B1:H1→2H1 和B2:H2→2H2 是极大单调映射且Ω≠∅.参数列{αn},{βn}在区间(0,1)中且

inf(1-αn)αn>0,inf(1-βn)βn>0.

由下式生成得序列{xn}和{yn}

将强收敛于z=PΩ(0).

证明　在定3 中取γn=0 则该推论得结论成立.

除了以上的变步长算法可以较好获得分裂变分包含问题的解以外,也有不少学者将惯性算法应用于求解分裂变分包含问题.下面将结合惯性算法与变步长算法来获得分裂变分包含问题的数值解.

惯性算法起源于Polyak 考虑如下二阶动力系统问题时提出的一种算法:

其中γ>0,而▽f 是函数f 的梯度.该动力系统被称为Heavy Ball wiht Friction(HBF)．

为了获得其数值解,Polyak 提出了如下算法

xn＋1=xn＋β(xn-xn-1)-α ▽f(xn)

其中β=1-γh,α=h2,该算法也可写成

这个迭代式就被称为惯性外推算法:

(a)项xn-xn-1被称为动量项;(b)项β(xn-xn-1)被称为外推点:(c)项β∈[0,1)被称为外推因子.

在下面的讨论中,假设H 为Hilbert 空间而E 是2-一致光滑凸的Banach 空间.令A:H→2H,B:E→2E∗为两个极大单调算子,T:H→E 是有界线性算子,其伴随算子为T∗:E∗→H 且T≠∅.

考虑如下分裂变分包含问题:

寻找x∗∈H 使得0∈Ax∗

并且y∗=Tx∗∈E 使得0∈By∗.

下面定义两个辅助函数

以及(www.chuimin.cn)

其中J 是E 上正规对偶映射.

记Ω=A-1(0)∩T-1(B-10),这表明Ω={x∗∈H:x∗∈A-1(0),Tx∗∈B-1(0)}.

算法4　选定正实数列{∊n},{ρn}满足< ∞,0 < ρn< 4.

选择任意的点x0,x1∈C 以及常数α∈[0,1),选择序列αn使得0<αn<,其中

迭代步骤　对任意的r>0,计算

以及步长

和

停止标准　若xn＋1=wn则停止迭代;否则,令n:=n＋1 返回迭代步骤.

算法5　选定正实数列{∊n},{ρn}{βn}和{γn}满足,0 < ρn< 4 以及

选择任意的点x0,x1∈C 和常数α∈[0,1),再选择序列αn使得0<αn<,其中

迭代步骤　对于任意的r>0,μ>0,计算

wn=xn＋αn(xn-xn-1),

以及

和

停止标准　若xn＋1=wn则停止;否则令n:=n＋1 返回迭代步骤.

引理2　设H 是实Hilbert 空间,E 是严格凸自反的光滑Banach 空间,J是空间E 上的对偶映射.令A:H→2H,B:E→2E∗为极大单调算子使得A-1(0)≠∅和B-1(0)=∅.令T:H→E 为有界线性算子使得T≠∅且T∗为T 的伴随算子.假设Ω=A-1(0)∩T-1(B-1(0))≠∅.令λ,μ,r>0 和z∈H.则以下结论是等价的:

其中.

证明　由于A-1(0)∩T-1(B-1(0))≠∅,所以存在z0∈A-1(0)使得Tz0∈B-1(0).

经推导得

因此

所以

另一方面,由于是B 关于μ>0 的预解式,所以

又因为Tz0∈B-1(0)所以

结合上面两式可得

即,

这意味着 因此有所以,z∈A-1(0)∩T-1(B-1(0)).(1)⇒(2).因为z∈A-1(0)∩T-1(B-1(0)),可得Tz∈B-1(0)和z∈A-1(0).又因为和所以

引理3　设H 为Hilbert 空间而E 是2-一致光滑凸的Banach 空间.令A:H→2H,B:E→2E∗为两个极大单调算子且A-1(0)≠∅和B-1(0)≠∅,T:H→E 是有界线性算子,其伴随算子为T∗:E∗→H 且T≠∅.假设T-1(B-1(0))≠∅.则F=T∗J(I-)T 是Lipschitz 连续的.

证明　根据Kohsaka 和Takahashi 的结论, 是非扩张的.另外由于E是2-一致光滑凸的Banach 空间,所以存在一个常数c>0 使得‖Jx-Jy‖≤c‖x-y‖对任意的x,y∈E,且可以估计出

这表明F 是Lipschitz 连续的.类似地可证明是Lipschitz 连续的.

引理4　在Banach 空间中考虑分裂变分包含问题的解集Ω=A-1(0)∩T-1(B-1(0)),若在算法4 中xn＋1=wn则可知wn∈Ω.

证明　若xn＋1=wn,则可得.根据引理5可推出wn∈A-1(0)和Twn∈B-1(0),这意味着wn∈Ω.

定理4　设H 为Hilbert 空间而E 是2-一致光滑凸的Banach 空间.令A:H→2H,B:E→2E∗为两个极大单调算子且A-1(0)≠∅和B-1(0)≠∅,T:H→E 是有界线性算子,其伴随算子为T∗:E∗→H 且T≠∅.则由算法4 生成的序列{xn}弱收敛于x∗∈Ω.

证明　为不失一般性,取z∈Ω,则可得和,

因此

且又因为JAr 是非扩张的,

结合预解式的性质可得

因此有

从而有

即

和

注意到这个事实

这表明< ∞.记Γn=‖xn-z‖2,可推出‖xn-z‖2 是一个收敛序列,说明{xn}有界,且可知{wn}也是有界的.另外,由于＋< ∞,所以

因为F(wn)和H(wn)是Lipschitz 连续的,因为它们均是有界的,从而推出f(wn)→0,因此

下面将说明wwn(xn)⊂Ω.令为任意的元素.由于{xn}是有界的,故存在{xn}的子序列{xnk}弱收敛于再次注意到下面事实

这意味着‖wn-xn‖=αn‖xn-xn-1‖→0.因此存在{wn}的子序列{wnk}弱收敛于根据 和J 的弱下半连续性可得

这说明.

另一方面,

由预解式的性质可知≥0,其中zn=且z∈A-1(0).因此

进一步可得‖xn＋1-wn‖→0,这将推出0.由于迭代算法4 可以被重新写为,所以可以推得

另外,

这表明0∈Axn＋1,所以和∈A-1(0).所以,∈Ω.注意到 的选择是任意的,因此推出wwn(xn)⊂Ω.

对于算法5 的强收敛定理,如之前一样考虑下面的最小范数解问题:

argmin{‖x‖:x∈H,x∈A-1(0)且y=Tx∈B-1(0)⊂E}.

定理5　设H 为Hilbert 空间而E 是2-一致光滑凸的Banach 空间.令A:H→2H,B:E→2E∗为两个极大单调算子且A-1(0)≠∅和B-1(0)≠∅,T:H→E 是有界线性算子,其伴随算子为T∗:E∗→H 且T≠∅.则由算法5 生成的序列{xn}强收敛于z=PΩ(0),Ω 的最小范数元.

证明　为简单起见,记wn.

第一步:说明序列{xn}和{yn}是有界的.由于Ω 非空,所以任取p∈Ω,可推得

这表明‖un-p‖≤‖wn-p‖≤‖xn-p‖＋αn‖xn-xn-1‖.

与此同时

因为

αn‖xn-xn-1‖<∊n=o(γn),

因此有,从而序列是有界的且有

其中因此推出{‖xn-z‖}有界,进而得出{xn}有界且{un}和{wn}都有界.

第二步:说明‖xn＋1-xn‖→0 以及xn→z,其中z=PΩ(0)是Ω 的最小范数元.为达成此目的,记yn=(1-βn)wn＋βnun,则xn＋1=yn-γnwn=(1-γn)yn-γnβn(wn-un),从而有

注意

所以,

另一方面,因为有

所以

这表明

下面考虑序列{‖xn-z‖2}的两种情况.

CaseⅠ．假设{‖xn-z‖}是非增的,则存在n0≥0 使得‖xn＋1-z‖≤‖xn-z‖,对于任意的n≥n0,因此‖xn-z‖的极限存在且z‖-‖xn-z‖)=0.因为和αn‖xn-xn-1‖2<∊n=o(γn)→0,所以得出

注意到条件inf(1-βn-γn)βn>0,inf ρn(4-ρn)>0 并且F 和H 是Lipschitz 连续的,故

从而f(wn)→0 和‖un-wn‖→0 当n→∞,进而,‖yn-wn‖=βn‖un-wn‖→0.又因为‖xn＋1-yn‖=γn‖wn‖→0 且‖wn-xn‖=αn‖xn-xn-1‖<∊n→0,所以有

‖xn＋1-xn‖≤‖xn＋1-yn‖＋‖yn-wn‖＋‖wn-xn‖→0.

另外,类似于定理8 的证明可得出ww(xn)⊂Ω.并且有

其中M=supn∈ℕ{‖xn-z‖＋‖xn-1-z‖＋2‖xn-xn-1‖}.

根据投影映射的性质得〈0-PΩ(0),y-PΩ(0)〉≤0,∀y∈Ω,因此

又因为γn→0,wn-un→0,‖xn-xn-1‖ < ∞,故可得出‖xn-z‖→0,即序列{xn}强收敛于z=PΩ(0).

CaseⅡ．若序列‖xn-z‖2 是单增的,为了不失一般性,假设存在{‖xn-z‖}的子序列{‖xnk-z‖}使得‖xnk-z‖≤‖xnk＋1-z‖对任意的k∈ℕ.此时定义一个指标为

σ(n)=max{m≤n:‖xm-z‖≤‖xm＋1-z‖}

则σ(n)→∞当n→∞and ‖xσ(n)-z‖2≤‖xσ(n)＋1-z‖2,从而可得

由于γσ(n)→0 当n→∞,类似于CaseⅠ的证明过程,则可得

和

其中M1=supσ(n)∈ℕ{‖xσ(n)-z‖＋‖xα(n)-1-z‖＋2‖xσ(n)-xσ(n)-1‖}.

因此

结合以上式子,有

因此有

以及

从而=0,故得到

0≤‖xn-z‖2≤max{‖xσ(n)-z‖2,‖xn-z‖2}≤‖xσ(n)＋1-z‖2→0.最终,序列{xn}强收敛于z=PΩ(0),Ω 中的最小范数元.

下面将通过一些数值算例来说明各算法的可靠性以及于其他算法之间的比较结果.所有的算法都通过MATLAB R2016b 来实现,数值结果在私人的LG 双核电脑例运行之后获得.

例1　在算法4 中,设H=E=ℝ,定义算子A,B 和T 分别为Ax=3x,Bx=2x,Tx=x.在该例中,选择和α∈(0,1).根据算法的要求,若α<∊n(max{‖xn-xn-1‖2,‖xn-xn-1‖})-1,则否则,取αn=max{‖xn-xn-1‖2,‖xn-xn-1‖}-1.同时取对所有的n∈ℕ 测试不同α 下得到的结果;然后测试参数r=1 的时候不同初始值的结果.

图6.1　例1 算法4 针对不同参数及初值r 的运行结果

例2　设H=E=ℝ 3.定义算子A,B 和T 分别为:

设置参数为对任意的n∈ℕ.类似于例1,若α<∊n(max{‖xn-xn-1‖2,‖xn-xn-1‖})-1,则;否则,取αn=max{‖xn-xn-1‖2,‖xn-xn-1‖}-1.与此同时,在算法5 中设置参数这些结果如图6.2、图6.3、表6.1 所示.

图6.2　例2 算法4 和算法5 针对不同初始点的运行结果

图6.3　算法4、算法5 以及VM 和HM 的比较

表6.1　例2 算法4 的序列收敛情况

例3　算法间的比较.此处将对算法4、算法5 和另外两个算法进行比较.另外的两个算法分别是Suantai et al．的粘性迭代算法(VM),Alofi et al．的Halpern’n 型算法(HM),注意后面两个算法的步长都依赖算子T 的模长.为了比较这3 个算法,算子A,B,T 如同例2 中定义的一样.经过计算,‖T‖≃14.87,因此在Suantai et al．和Alofi et al．的算法中取步长λn=0.001.与此同时在算法5 中设置参数和γn=;在Suantai et al．的算法中设置且压缩映射为;在Alofi et al．的算法中设置且un=0.另外,对所有的算法其停止标准设置为‖xn＋1-xn‖≤DOL.实验结果如图6.4、表6.2、表6.3 所示.

图6.4　K=20 时的恢复结果

表6.2　例2 算法5 的序列收敛情况

续表

表6.3　算法5 与其他算法的比较

例4　压缩感知.本例将考虑压缩感知领域的问题,即在有限样本中稀疏噪声信号的恢复.设x0∈ℝ n 为K-稀疏信号,K<<n.采样矩阵T∈Rm×n,m<n 由标准的Gaussian 干扰来仿真获得,向量b=Tx＋∊,其中∊是附加的噪声.当∊=0,意味着观察数据中没有噪声.目的是从数据b 中恢复出x0.

为了解决这个问题,借助如下LASSO 问题:

其中t>0 是一个给定常数.因此对应于分裂变分包含问题考虑A-1(0)={x‖x‖1≤t},B-1(0)={b}且定义

和

假设参数为和,则对算法5.Sitthithakerngkiet et al．的算法和Kazmi et al．的算法进行比较.另外进行如下设置:T∈ℝ m×n 是随机产生的矩阵,其中取m=210,n=212,x0∈ℝ n 是振幅为1的随机分布的K×1 向量.另外在[69]中设置在[70]中设置Si=I,αi=10-3/(i＋1),βi=0.5-1/(10×i＋2),在算法5 中设置αi=为方便起见,在所有的算法中都取t=K 且停止标准为‖xn＋1-xn‖≤10-6.这些比较结果如图6.5 和表6.4 所示.

图6.5　K=40 时的恢复结果

表6.4　算法5 与Sitthithakerngkiet et al．[68]和Kazmi et al．[67]的比较