迭代逼近：不动点与零点的应用

2023-10-20 理论教育版权反馈

【摘要】：设X 和Y 是两个线性赋范空间,其范数为‖·‖X 和‖·‖Y.令V,W分别是X,Y 的子集,F:V→W 是一映射.(ⅰ)直接问题是指由x∈V 来确定y=F(x),(即,由起因得出结论);(ⅱ)反问题是对任意的y∈W 通过y=F(x)来决定x∈V,(即,由结论推出起因);(ⅲ)映射F 被称为直接映射.关于反问题(也称逆问题)的研究,早期的工作可追溯到20 世纪20年代美国的Hadamard 教授在研

设X 和Y 是两个线性赋范空间,其范数为‖·‖X 和‖·‖Y.令V,W分别是X,Y 的子集,F:V→W 是一映射.

(ⅰ)直接问题是指由x∈V 来确定y=F(x),(即,由起因得出结论);

(ⅱ)反问题是对任意的y∈W 通过y=F(x)来决定x∈V,(即,由结论推出起因);

(ⅲ)映射F 被称为直接映射.

关于反问题(也称逆问题)的研究,早期的工作可追溯到20 世纪20年代美国的Hadamard 教授在研究线性偏微分方程的Cauchy 问题时对逆问题不适定性的陈述．20年后,苏联科学院院士Tikhonov 率领他的研究小组开始了逆问题的理论研究,并于70年代出版了逆问题理论的经典专著《Solutions of Ill-Posed Problems》．与此同时,我国在冯康院士的倡导下也展开了逆问题的研究．在最近的30年间,分裂逆问题已成为其中发展和成长最快的领域之一．之所以如此,在很大程度上是由于其他学科以及众多工程技术领域的应用的迫切需求．(www.chuimin.cn)

分裂逆问题可以被归纳为这样一个数学模型:在X 中寻找IPl 的一个解x∗∈X 使得y∗=Ax∈Y 为IP2 的解.该模型中涉及两个空间X 和Y 以及一个给定的有界线性算子A:X→Y.此外,该模型还涉及两个逆问题,一个代表着空间X 中的逆问题,记作IP1,另一个表示空间Y 中的逆问题,记作IP2.通过对空间X 和Y 的不同选择(也可以选择X=Y),或者对逆问题IP1和IP2 做合适的选择,现实世界中的很多问题均可以被转化为如上分裂逆问题.由于在研究的初级阶段,逆问题IP1 和IP2 主要考虑的是凸可行问题和约束优化问题的数学模型,所以分裂逆问题的第一个实例便是1994年由Censor 和Elfving 提出的分裂凸可行问题,其中两个逆问题IP1 和IP2 都是凸可行类型．随后,众多学者对分裂凸可行问题展开了如火如茶的研究,不仅获得了理论上若干重要成果,还为工程以及医学应用中的图像分析做出了重大贡献.比如在考虑医学图像重建中的逆问题时,把人体某部位看做一个二维平面,由于X 射线对不同组织的作用是不同的,即不同部位对X 射线的衰减强度是不一样的,而这个衰减变化可以用一个自变量非负的函数来表示.通过衰减函数对应的测量值,可以计算出X 射线的衰减值,从而可以把人体组织截面图像重构出来.重复一系列这样的过程,可以把各层人体组织的截面图像重构出来,最终形成立体的三维图像,由此得到人体组织的生理状态信息.这为医学诊断提供了有力的技术手段,使整个社会的生物医学水平迈向新台阶.

由于分裂凸可行问题为医学物理、社会经济带来了巨大贡献,因此引发了人们对分裂逆问题的极大关注.随着不断地挖掘和探索,人们发现分裂逆问题有着极强的应用背景,比如工业生产中的定向设计,采矿勘探中的物性探测、环境监测,医学等领域中的扫描成像,热传导的逆时反演等.由于应用领域相当广泛,涉及经济发展、日常生活等国计民生,所以在国外对分裂逆问题研究的资助不仅来自科研和工业部门,还得到国防部门的有力支持,这引得众多机构以及学者专家广泛重视,也使得分裂逆问题成为逆问题学科中发展和成长最快的领域之一.

需要指出的是,分裂逆问题属于不适定性问题,确定其解的存在性、唯一性和稳定性都是研究过程中会遇到的困难,这需要利用对解和数据误差的先验估计将问题的求解限定在某个较小范围内,对问题的提法进行适当的改造后,将原本不适定的问题转化为适定的问题.除此以外,分裂逆问题的研究与应用还经常面临非线性的困扰,这为反演的研究和计算带来了很多麻烦,尤其是在高维情况下将导致十分巨大的计算量.所以分裂逆问题的计算效率也是一个非常重要的课题.它要求计算数学工作者从实际应用出发,充分研究问题的性质和特点,构造出精巧、快速的迭代算法以适应生产的需要.

鉴于此,国内外专家学者对分裂逆问题及其应用做了大量的研究.最近20年间,在理论和实践方面均涌现出一大批优秀的成果.这些成果主要集中在两个方面,一方面是该类问题的理论分析上,包括解的存在性以及数值解的先进迭代算法.近期的成果中,比如研究分裂可行问题的解时,Censor 和Elfving 利用多距离的思想给出了数值解的迭代算法,为分裂可行问题的求解提供了便利．但是Censor 和Elfving 的算法中每一次迭代都需要计算线性算子A 的逆或者其特征值．因此Byrne 在2002年对其做了改进,通过引入线性算子的伴随(转置)并结合正交投影提出了著名的CQ 算法,该方法的优点在于不需要计算算子的逆,且当计算规模较大时其优越性尤其明显,这使得分裂凸可行问题的研究变得更有吸引力.不过在该方法中,人们发现如果在两个集合C 和Q 上不能进行“简单”投影的话,则需要在每次迭代中解决两次平方最小化问题来获得投影,这一事实将影响该方法的适用性.2004年,杨庆之为了克服这个缺陷,将两个集合C 和Q 考虑为凸函数的子水平集,通过构造半空间序列,并结合正交投影提出了松弛CQ 算法.事实上,无论C 和Q 的子水平集是半空间还是全空间,都使得投影非常简单,因此这种投影方法在实践中非常具有竞争力.随后又衍生出一些优良的CQ 算法,如屈彪、修乃华、徐洪坤以及党亚峥等.不过在以上的迭代算法中,其步长均依赖于线性算子AAT 的谱半径,这意味着需要预先知道或估计其值,而这个工作并不容易,所以这通常会影响到算法的收敛性.为了克服这个困难,Lopez 等于2012年提出了自适应步长算法．他们利用凸函数的梯度构造了一个自适应步长,该步长的建立使得CQ 算法的实现既能保证算法的收敛性,又不需要任何关于算子范数的先验信息;再如研究分裂变分不等式问题时,Censor 等于2012年结合变分不等式以及分裂可行问题首先提出了分裂变分不等式问题,利用定向算子获得了该类问题的解析解,并通过构造半空间以及扩展外梯度法获得了数值解．该方法适用面较广,并且投影也相对简单,所以该方法受到众多学者的青睐．不过,由于Censor 等的全局收敛性是在逆强单调性假设下建立的,因此2015年徐洪坤等通过引入拉格朗日乘子将分裂变分不等式重构为一个可分离结构的变分不等式,然后在迭代中引入一个宽松的参数,提出了一种新的基于投影的松弛方法,该思想使得算法的适用范围更广泛．另一方面关于分裂逆问题的研究主要体现在迭代算法的实践应用,也就是将已经获得的理论成果应用于现实世界的问题处理中,包括计算机断层扫描图像重建、放射治疗等．近年的优秀成果中,包括2009年Davidi,Herman 和Censor 在有限维欧几里得空间中提出了一种求解一致凸可行问题的块迭代投影算法,该算法的实用性在以总变异和负熵为函数的投影图像重建中得到了说明,这使得计算机断层扫描图像重建工作得到推进; 2010年Penfold 等利用块迭代对角松弛正交投影算法进行了质子计算机断层扫描的重建工作．他们在该算法中加入了全变分方法,特别是消除了图像噪声,提高了图像质量,该工作为质子计算机断层成像在质子放射治疗中的应用做出了很大贡献;2019年Paludetto Magrid 等利用自适应因子稀疏近似逆方法以及自适应计算延长算子方法,解决了工程中特定的错误组件问题．随着分裂逆问题的深入研究,人们又拓展出一些新的重要分支,包括2011年Byrne等提出的分裂公共零点问题,2012年Moudafi 提出的分裂变分包含问题．这些问题的提出使得分裂逆问题的研究进入新的轨道,为解决物理、医学以及工程中的逆问题提供了必要的理论依据和技术手段．关于分裂逆问题及其应用的更多成果,可以参见国内学者曾六川、何炳生、王丰辉、董巧丽以及国外学者Bauschke,Chen,Tseng,Bregman,Mainge,Beck 等．

迭代逼近：不动点与零点的应用

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