迭代逼近理论在单调算子方程解的应用

2023-10-20 理论教育版权反馈

【摘要】：对于单调算子方程Tx=0 的求解问题,比增生算子方程的求解要复杂许多.若E 是希尔伯特空间,则求解单调算子方程等同于求解增生算子;若E 是Banach 空间,当算子T:E→E 时,可以借助单位算子I 来分析方程Tx=0 的解;但是当算子T:E→E或者T:E→E 时,单位算子I 的功能失效,此时考虑方程Tx=0 的解难度将增大.对于后者,通常的方法是借助正规对偶算子J 的性质来处理方程Tx=0 的解

对于单调算子方程Tx=0 的求解问题,比增生算子方程的求解要复杂许多.若E 是希尔伯特空间,则求解单调算子方程等同于求解增生算子;若E 是Banach 空间,当算子T:E→E 时,可以借助单位算子I 来分析方程Tx=0 的解;但是当算子T:E→E∗或者T:E∗→E 时,单位算子I 的功能失效,此时考虑方程Tx=0 的解难度将增大.对于后者,通常的方法是借助正规对偶算子J 的性质来处理方程Tx=0 的解.

下面将介绍空间的一些基本概念和性质.

定义1　称空间E 是光滑的,若ρE(τ)>0,对任意的τ>0;称空间E 是一直光滑的,若 pagenumber_ebook=176,pagenumber_book=169 =0,其中ρE(τ)定义为

注　设p>1,称空间E 为p-一致光滑的,若存在一个常数c>0 使得ρE(τ)≤cτp,τ>0.众所周知,每个p-一致光滑的Banach 空间都是一致光滑的.另外,根据Alber 可以获知,如果E 是2-一致光滑的,则存在常数L∗>0 使得下式成立:

‖Jx-Jy‖≤L∗‖x-y‖,∀x,y∈E.

定义2　设C 是一致凸的Banach 空间E 的非空闭凸子集.Banach 极限μ 是l∞上的一个有界线性泛函使得

inf{xn;n∈ℕ}≤μ(x)≤sup{xn;n∈ℕ},∀x={xn}∈l∞.

且μ(xn)=μ(xn＋1),对任意的{xn}∈l∞.假设{xn}在E 中是有界序列,则定义在E 上的实值函数φ

是凸连续的,且φ(y)→∞当‖y‖→∞.若E 是自反的,则存在z∈C 使得(参见Kamimura and Takahashi,Tan and Xu),因此可以定义如下集合Cmin

显然可以证明Cmin是E 的非空,有界,闭凸子集.下面的引理来自Takahashi.

引理1　设E 是一致凸和一致光滑的Banach 空间.假设T:E∗→E 是极大单调映射使得(TJ)-1(0)≠∅.则,对于任意的u∈E 和t∈(0,1),下式定义的由t→xt∈E 的函数

强收敛于元素z∈(AJ)-1(0)当t→0.

定理1　设E 是一致凸的2-一致光滑Banach 空间.假设T:E∗→E 是一个L-Lipschitz 连续单调映射使得(TJ)-1(0)≠∅且f:E→E 是具有系数为ρ∈(0,1)的压缩映射.则下式定义的由t-xt∈E 的函数

强收敛于z∈(AJ)-1(0)当 pagenumber_ebook=177,pagenumber_book=170 =0.

证明　由于E 是2-一致光滑的,根据Alber 可以得出J 是L∗-Lipschitz连续的,注意到T 是L-Lipschitz 连续的,因此I-TJ 是Lipschitz 连续的其系数为1＋LL∗.

首先,说明xt是良好意义的.由于 pagenumber_ebook=177,pagenumber_book=170 ,∀ε>0,故存在δ>0,使得对任意的t∈(0,δ),不等式<ε 均成立.

为了不失一般性,取ε>0 使其满足ρ＋εLL∗=b<1,其中b 是一正数.定义算子Tt为 pagenumber_ebook=177,pagenumber_book=170 ,∀x,y∈E,则可得

这意味着Tt是压缩的.因此根据Banach 压缩原理,Tt将存在唯一的不动点,记作xt.即,xt=tf(xt)＋(1-t)(I-ω(t)TJ)xt,因此xt是良好意义的.

下面将说明xt是有界的,当 pagenumber_ebook=178,pagenumber_book=171 ,对于x∗∈(TJ)-1(0),可以得到下面估计

因此,

这表明xt是有界的,当t→0,因此f(xt)也是有界的.

另一方面,对任意的u∈E,xt可被重新写作

xt=tu＋(1-t)(I-TJ)xt＋t(f(xy)-u)＋(1-t)(1-ω(t))TJxt,

因此,

(1-t)(1-ω(t))TJxt=xt-tu-(1-t)(I-TJ)xt-t(f(xt)-u).

根据上面的引理xt强收敛于z∈(TJ)-1(0)当 pagenumber_ebook=178,pagenumber_book=171 =0.

定理2　设E 是一致凸的2-一致光滑Banach 空间.假设A:E∗→E 是一个L-Lipschitz 连续单调映射使得Cmin∩(AJ)-1(0)≠∅,参数{αn}and{ωn}是(0,1)中实数列且满足下列条件:

另外f:E→E 是一个如(C2)定义的分段函数:(C2):f(x∗)=x∗,若x∗∈(AJ)-1(0);否则f(x∗)是具有压缩因子ρ 的压缩映射.则对任意的x0∈E,下面生成的序列{xn}

强收敛于z∈(AJ)-1(0).

证明　根据函数f 的定义可以看出,若xn∈(AJ)-1(0)则停止迭代运算.否则,令n:=n＋1 并执行下一次迭代.

整个证明过程包括3 步.

第一步:首先将证明{xn}有界.由于参数满足αn→0 和 pagenumber_ebook=179,pagenumber_book=172 当n→∞,因此存在常数N0>0 使得∀n>N0.不妨取x∗∈(AJ)-1(0)或Jx∗∈A-1(0).令r>0 为充分大的数使得xN0∈Br(x∗)以及.

下面将阐述{xn}属于对所有的整数n≥N0.首先可以看到,根据构造可知xN0∈B.现在假设对于任意的n>N0,xn∈B,证明xn＋1∈B.若xn＋1不属于B,则有‖xn＋1-x∗‖>r.根据xn＋1的表示,推导出

xn＋1-xn=αnf(xn)＋(1-αn)(I-ωnAJ)xn-xn.

因此

从而由引理以及xn＋1-x∗=xn＋1-xn＋xn-x∗可得,

即,

由于‖xn＋1-x∗‖>‖xn-x∗‖以及A 是L-Lipschitz 连续的且J 是L ∗-Lipschitz 连续的,因此有

从而,

这是一个矛盾.所以可证明{xn}属于B 对所有的整数n≥N0,意味着序列{xn}是有界的,且序列{f(xn)}和{AJxn}均有界.

另外,容易得出‖xn＋1-xn‖→0 因为αn→0and ωn=o(αn),

‖xn＋1-xn‖≤αn‖f(xn)-xn‖＋(1-αn)ωn‖AJxn‖→0.

第二步:下面将说明sup〈z-f(xn),j(z-xn＋1)〉≤0,其中z∈Cmin∩(AJ)-1(0).

由于序列{xn}和{f(xn)}是有界的,因此存在充分大的R>0 使得,∀n∈ℕ.进一步可知集B1是E 的有界闭凸非空子集.根据B1的凸性,可知(1-t)z＋tf(xn)∈B1.因此根据函数φ 的定义可得φ(z)≤φ(1-t)z＋tf(xn)).从而

‖xn-z-t(f(xn)-z)‖2≤‖xn-z‖2-2t〈f(xn)-z,j(xn-z-t(f(xm)-z))〉,

因此对于n≥1 取Banach 极限,

μ‖xn-z-t(f(xn)-z)‖2≤μ‖xn-z‖2-2tμ〈f(xn)-z,j(xn-zt(f(xm)-z))〉,

这意味着

2tμ〈f(xn)-z,j(xn-z-t(f(xn)-z))〉≤μ‖xn-z‖2-μ‖xn-zt(f(xn)-z)‖2

=φ(z)-φ(z＋t(f(xn)-z))≤0,

即,

μ〈f(xn)-z,j(xn-z-t(f(xn)-z))〉≤0.

根据空间E 上范数的弱下半连续性,当t→0 时可得

〈f(xn)-z,j(xn-z)〉-〈f(xn)-z,j(xn-z-t(f(xn)-z))〉→0.(www.chuimin.cn)

因此,对∀ε>0,存在常数δ>0 使得t∈(0,δ),n≥1

〈f(xn)-z,j(xn-z)〉<〈f(xn)-z,j(xn-z-t(f(xn)-z))〉＋ε,

从而,

μ〈f(xn)-z,j(xn-z)〉< μ〈f(xn)-z,j(xn-z-t(f(xn)-z))〉＋ε.

介于ε 的任意性,可知

μ〈f(xn)-z,j(xn-z)〉≤0.

根据J 在E 的有界子集上的依范数弱∗一致连续性,可得

因此,序列{〈f(xn)-z,j(xn-z)〉}满足条件

第三步:下面将说明‖xn＋1-z‖→0.

由于

‖xn＋1-z‖2=‖xn＋1-xn＋xn-z‖2

=‖xn-z＋αn(f(xn)-xn)-(1-αn)ωnAJxn‖2

=‖(1-αn)(xn-z)＋αn(f(xn)-z)-(1-αn)ωnAJxn‖2

≤(1-αn)2‖xn-z‖2＋2〈αn(f(xn)-z)-(1-αn)ωnAJxn,j(xn＋1-z)〉.

注意到序列{xn}有界这个事实,为了不失一般性,假定M:=sup{‖xn-z‖},因此,

其中σn=2αn〈(f(xn)-z),j(xn＋1-z)〉＋2ωnLL∗M2.

进而

这表明序列{xn}强收敛于z.

定理3　设E 是一致凸的2-一致光滑Banach 空间.假设A:E∗→E 是一个L-Lipschitz 连续单调映射使得Cmin∩(AJ)-1(0)≠∅,则对任意的x0∈E,如下定义的序列{xn}

强收敛于z∈(AJ)-1(0).

证明:类似于以上定理的证明过程,可以得知序列{xn}和{AJxn}都是有界的.另外,还可得≤0,其中z∈Cmin∩(AJ)-1(0).

另外,序列xn＋1可重新写为

xn＋1=xn-(1-αn)ωnAJxn.

因此,显见‖xn＋1-xn‖=(1-αn)ωn‖AJxn‖→0 当αn→0.

进一步可得

‖xn＋1-z‖2=‖(1-αn)(xn-z)＋αn(xn-z)-(1-αn)ωnAJxn‖2

≤(1-αn)2‖xn-z‖2＋2αn〈xn-z,j(xn＋1-z)〉-

2(1-αn)ωn〈AJxn,j(xn＋1-z)〉

≤(1-αn)‖xn-z‖2＋2αn〈xn-z,j(xn＋1-z)〉＋2(1-αn)ωnLL∗M2

≤(1-αn)‖xn-z‖2＋2αn〈xn-z,j(xn＋1-z)〉＋2ωnLL∗M2,

其中M:=sup{‖xn-z‖}.由上面的引理可知 ‖xn-z‖=0,这表明序列{xn}强收敛于z∈(AJ)-1(0).

根据Zegeye 和Liu 的介绍,映射T:E→E∗,称点x∗∈E 为T 的J-不动点当且仅当Tx∗=Jx∗;称T 为半伪算子当且仅当A:=J-T 是单调的.从而可知算子A 的零点是T 的J-不动点.若E 是Hibert 空间,半伪算子与J-不动点将等同于伪压缩算它的不动点子和当半伪算子T 从E∗映射到E 时,可推出AJ:=(J-1-T)J 是单调的.记J-不动点集合为FJ(T)={x∈E,x=TJx}.

推论1　设E 是一致凸的2-一致光滑Banach 空间.假设T:E∗→E 是一个L-Lipschitz 连续的半伪算子使得Cmin∩FJ(T)≠∅且分段函数f:E→E是如上(C2)所定义.则对任意的x0∈E,下面定义的序列{xn}

xn＋1=αnf(xn)＋(1-αn)((1-ωn)I＋ωnTJ)xn

强收敛于x∈FJ(T)

例　约束凸优化的应用

此处将考虑如下最小化问题

其中C 是E 的非空闭凸子集,且h:C→R 是实值凸函数.假设该最小化问题使适定的,则根据Diop 等的结论可知,x∈E 是h 的最小值点当且仅当0∈∂h(x).

引理2　设E 使一实的赋范光滑空间,h:E→ℝ 是一可微凸函数.假设函数h 有界,则次可微映射∂h:E→ℝ 是有界的且下式成立:

〈∂h(x)-∂h(y),x-y〉≥〈Jx-Jy,x-y〉,∀x,y∈E.

证明　令 pagenumber_ebook=184,pagenumber_book=177 ,则‖·‖2.由于h 和‖·‖2 是可微的,因此g 是可微的且g 的次微分被记作∂g=∂h-J.令x∈E,根据∂g的定义可知