数学里到处要解方程,诸如代数方程、函数方程、微分方程等,种类繁多,形式各异.但是它们常能改写成f(x)=x 的形状,这里x 是某个适当的空间X 中的点,f 是从X 到X 的一个映射或运动.把每一点x 移到点f(x),方程f(x)=x 的解恰好就是在f 这个运动之下被留在原地不动的点,故称不动点.即这个函数映射到其自身一个点.于是,解方程的问题就转化成了找不动点这个几何问题.不动点问题实际上就是各种......
2023-10-20
设H 是一个实Hilbert 空间,其内积和范数分别表示为〈·,·〉 和‖·‖,K 是一个H 中的非空闭凸集.T∶H→H 是一个非线性映射,g∶H→H 是一个非线性连续可逆映射.
考虑包含非线性算子的一般变分不等式问题:求u ∈H,g(u)∈K 满足
〈Tu,g(v)-g(u)〉 ≥0,∀g(v)∈K.
当g=I 时,即转化为经典的变分不等式问题:
〈Tu,v-u〉 ≥0,∀v ∈K.
定义1 称映射T∶H→H 为g-μ-Lipschitzian 连续:如果存在常数μ>0,使得
‖Tx-Ty‖≤μ‖g(x)-g(y)‖,∀g(x),g(y)∈K.
定义2 称映射T∶H→H 为g-r-强单调:如果存在常数r>0,使得
〈Tx-Ty,g(x)-g(y)〉 ≥r‖g(x)-g(y)‖2,∀g(x),g(y)∈K.
定义3 称映射T∶H→H 为g-α-强制:如果存在常数α>0,使得
〈Tx-Ty,g(x)-g(y)〉 ≥α‖Tx-Ty‖2,∀g(x),g(y)∈K.
定义4 称映射T∶H→H 为g-(γ,r)-松弛强制:如果存在常数γ>0,r>0,使得
〈Tx-Ty,g(x)-g(y)〉 ≥-γ‖Tx-Ty‖2+r‖g(x)-g(y)‖2,∀g(x),g(y)∈K.
注1 当g=I 时,上述各项定义即转化为文献[15] 中定义的μ-Lipschitzian 连续、r-强单调、α-强制和(γ,r)-松弛强制.
注2 g-r-强单调映射一定是g-(γ,r)-松弛强制映射,但其逆命题并不成立.因此,g-(γ,r)-松弛强制映射是比g-r-强单调映射更一般的映射.
引理1 设{an},{bn},{λn}为三个非负数序列,如果λn∈[0,1] 且满足不等式:
an+1≤(1-λn)an+bn,∀n ≥0,
其中,,则=0.
引理2 如果一个给定的u ∈H,g(u)∈K 为上面变分不等式问题的解,当且仅当
g(u)=PK[g(u)-ρTu],ρ>0,
其中PK为H 在K 上的投影,PK为非扩张映射.
定理1 设u∗是一般变分不等式问题(1)的解,T 为g-(γ,r)-松弛强制映射且g-μ-Lipschitzian 连续,则
‖PK[g(un)-ρTun]-g(u∗)‖2≤(1-2ρr+2ργμ2+ρ2μ2)‖g(un)-g(u∗)‖2.
证明 由引理2 和T 为g-(γ,r)-松弛强制映射且g-μ-Lipschitzian 连续,则
定理2 设u∗是一般变分不等式问题(1)的解,T 为g-(γ,r)-松弛强制映射且g-μ-Lipschitzian 连续.如果σn,λn,αn,βn,γn∈[0,1],并满足下列条件:
则由算法:对一个给定的u0∈H,g(u0)∈K,由下列迭代格式计算un+1:
得到的序列{un}收敛到u∗,即=u∗.
证明 由条件(ⅰ)和定理1,得
‖PK[g(un)-ρTun]-g(u∗)‖≤θ‖g(un)-g(u∗)‖,
其中,θ=,0 < θ < 1.
同理可得
‖PK[g(vn)-ρTvn]-g(u∗)‖≤θ‖g(vn)-g(u∗)‖,
‖PK[g(wn)-ρTwn]-g(u∗)‖≤θ‖g(wn)-g(u∗)‖.
由引理2 得
类似地,有
‖g(wn)-g(u∗)‖≤‖g(un)-g(u∗)‖.
由式(ⅱ)和引理2,得
由引理1 得-g(u∗)‖=0.又因为g 是连续可逆映射,因此,即=u∗.(www.chuimin.cn)
定理3 设u∗是变分不等式问题(2)的解,T 为(γ,r)-松弛强制映射且μ-Lipschitzian 连续.如果σn,λn,αn,βn,γn∈[0,1],并满足下列条件:
则由算法:对一个给定的u0∈H,由下列迭代格式计算un+1:
得到的序列{un}收敛到u∗,即=u∗.
证明 在定理2 的证明中令g=I,同理可证.
下面研究一类非凸变分不等式问题:设T 为非线性算子,Kr为Hilbert空间H 中的非凸子集,求u ∈Kr,使得
〈Tu,v-u〉 ≥0,∀v ∈Kr.
Wiener-Hopf 方程与变分不等式问题存在紧密联系,为了方便表示,设QKr=I -SPKr,其中PKr是投影算子,I 是单位算子,S 为非扩张映象.对于给定的非线性算子T,求z ∈H 满足
TSPKrz+ρ-1QKrz=0.
称该式为非线性Wiener-Hopf 方程,当r=∞,S=I 时,方程退化为求解经典变分不等式问题的辅助wiener-Hopf 方程.
设u 为Hilbert 空间H 中的一点,以表示H 到K 的距离,称
为K 在u 的近似正规锥,其中PK[u]={u∗∈K∶dK(u)=‖u-u∗‖}.称为Clarke 正规锥,其中表示凸集的闭包.显然,且是闭凸集,但近似正规锥是凸集,却不一定是闭集[61].
设Kr为H 中的一个非空子集,对给定的常数r ∈(0,∞],如果Kr的每一个非零近似正规锥 都可以表示为一个r-球,即对任意u ∈Kr和,满足
则称Kr为一致近似正规集.
一致近似正规集包含凸集,p-凸集,H 中的C1,1 子流形(可能包含边界)等类型的凸集和非凸集.如果r=∞,则一致近似正规集Kr与K 等价,即Kr=K; 如果Kr是一致近似正规集,则近似正规锥是闭的集值映象,所以.
引理3 设K 为H 的非空闭子集,如果Kr={u ∈H∶d(u,K)< r}是一致近似正规集,则
(ⅰ)∀u ∈Kr,PKr(u)≠0.
(ⅱ)∀r′∈(0,r),PKr是δ-Lipschitz 连续算子,其中常数
(ⅲ)近似正规锥 是闭的集值映象.
引理4 u ∈Kr为非凸变分不等式(1)的解的充分必要条件是u=PKr[u-ρTu],其中 为H 在一致近似正规集Kr上的投影.
设S∶Kr→Kr为非扩张映象,F(S)表示S 的不动点集,以VI(T,Kr)表示非凸变分不等式的解集,WHE(T,S)表示Wiener-Hopf 方程的解集,并且假设F(S)∩WHE(T,S)≠∅.
记F(u)=PKr[u-ρTu],则F(u)的不动点即非凸变分不等式的解.据此,分析非凸变分不等式问题和非线性Wiener-Hopf 方程的等价性.
定理4 u∗∈F(S)∩VI(T,Kr)的充分必要条件是z∗∈WHE(T,S),并满足
u∗=SPKrz∗,z∗=u∗-ρTu∗.
证明 设u∗∈F(S)∩VI(T,Kr),由引理2 得
u∗=Su∗=PKr[u∗-ρTu∗]=SPKr[u∗-ρTu∗].
并且该式可以另记为
u∗=SPKrz∗,z∗=u∗-ρTu∗.
所以z∗恰好是非线性Wiener-Hopf 方程的解.
z∗=u∗-ρTu∗=SPKrz∗-ρTSPKrz∗,
定理5 设Kr为H 中的一致近似正规子集,PKr是δ-Lipschitz 连续算子,其中,∀r′∈(0,r).设T∶Kr→Kr为松弛(γ,r)-余强制映象且μ-Lipschitz 连续.如果=∞,且常数ρ>0 满足
则由算法定z0∈H,
得到的序列{zn}收敛到z∗∈F(S)∩WHE(T,S).
证明 设u∗∈F(S)∩WHE(T,S),由(3)式和定理1 得
由于T 为(γ,r)-松弛强制映象且μ-Lipschitz 连续,因此
由S 的非扩张性得
其中由(6)式不难验证θ ∈(0,1),进一步整理得
因为,且θ ∈(0,1),所以0.由(10)式得 ‖zn-z∗‖=0,即序列{zn}收敛到z∗∈F(S)∩WHE(T,S).
有关不动点与零点的迭代逼近及应用的文章
数学里到处要解方程,诸如代数方程、函数方程、微分方程等,种类繁多,形式各异.但是它们常能改写成f(x)=x 的形状,这里x 是某个适当的空间X 中的点,f 是从X 到X 的一个映射或运动.把每一点x 移到点f(x),方程f(x)=x 的解恰好就是在f 这个运动之下被留在原地不动的点,故称不动点.即这个函数映射到其自身一个点.于是,解方程的问题就转化成了找不动点这个几何问题.不动点问题实际上就是各种......
2023-10-20
蜀国的材料不多,满想下手整理,写一篇古蜀国的传说。不幸历代人士为秦汉的大一统思想所陶冶,认为古代也是一模一样的,终不肯说这一块土地上的文化在古代独立发展,偏要设法把它和中原的历史混同搅和起来,于是处处勉强拍合,成为一大堆乱丝。彼此纠缠,把人们的脑筋弄迷糊了,古蜀国的真相,再也看不清了。现在就写出这一篇,做古蜀国史研究的一个引子。......
2023-08-10
我以为,西方国际关系三大理论范式都忽略了一个重要的社会性要素:社会互动过程和与之密切相关的社会性关系。过程包含关系,关系建构过程,过程的核心是运动中的关系,关系的运动形成了过程。[3]根据第一章中对形而上要素重要意义的讨论,本章提出这样一个过程建构主义的基本分析框架及其核心假定,目的是在形而上层面勾勒一种以中国理念为核心的国际关系理论的轮廓。......
2024-01-10
,cn)是依赖于参数c0,c1,…,cn的初等函数.用P(x,c0,c1,…,cn)来近似表示f,要求选择一组参数使误差最小.这就是寻求极小问题的解.当参数给出最小误差时,就把叫作f在P(x,c0,c1,…,cn)所构成的函数类中的一个最佳逼近元;数值P叫作f借助于函数P(x,c0,c1,…......
2023-10-20
变分不等式是非线性互补问题的推广,它的提出统一了优化问题和均衡问题的研究,并且在数学领域内作为大量数学问题实际求解的统一框架.变分不等式广泛应用于工程优化,经济学和交通运输的平衡问题,对数学各个领域、计算机科学等方面都产生了巨大的影响.经典变分问题的推广和发展,将经典变分问题的约束条件放松为某些单边约束(即用不等式代替等式)的变分方法.它是研究偏微分方程、最佳控制和其他领域的一个十分有用的工具,也......
2023-10-20
布劳威尔不动点定理是代数拓扑的早期成就,还是更一般的不动点定理的基础,在泛函分析中尤其重要.1904年,首先由Piers Bohl 证明n=3 的情况(发表于《纯粹及应用数学期刊》 之内).1909年,鲁伊兹·布劳威尔(L.E.Brouwer)再次证明.1910年,雅克·阿达马提供一般情况的证明,而布劳威尔在1912年提出另一个不同的证明.这些早期的证明皆属于非构造性的间接证明,与数学直觉主义理想......
2023-10-20
②将信号与传输链路相匹配,由信号处理设备完成。通信终端技术主要包括以下5种。视频通信终端技术如各种电视摄像机、多媒体计算机用摄像头、视频监视器以及计算机显示器等。新兴通信终端技术如物联网终端、智能音箱、智能机器人、车载智能终端等。......
2023-06-26
,N 是一族严格非扩张映射使得 假设α=inf{αi}>0,则存在非扩张映射Γ∶C→C 使得.证明设αi,i=1,2,…,N 是[0,1] 内的一组实数,且满足令由于Ti是非扩张的,所以由文献[20] 可知,Γ 是有意义的且这表明Γ 是非扩张的.下面将说明.......
2023-10-20
相关推荐