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不动点与变分不等式的关系

【摘要】:设H 是一个实Hilbert 空间,其内积和范数分别表示为〈·,·〉 和‖·‖,K 是一个H 中的非空闭凸集.T∶H→H 是一个非线性映射,g∶H→H 是一个非线性连续可逆映射.考虑包含非线性算子的一般变分不等式问题:求u ∈H,g(u)∈K 满足〈Tu,g(v)-g(u)〉 ≥0,g(v)∈K.当g=I 时,即转化为经典的变分不等式问题:〈Tu,v-u〉 ≥0,v ∈K.定义1称映射T∶H→H

设H 是一个实Hilbert 空间,其内积和范数分别表示为〈·,·〉 和‖·‖,K 是一个H 中的非空闭凸集.T∶H→H 是一个非线性映射,g∶H→H 是一个非线性连续可逆映射.

考虑包含非线性算子的一般变分不等式问题:求u ∈H,g(u)∈K 满足

〈Tu,g(v)-g(u)〉 ≥0,∀g(v)∈K.

当g=I 时,即转化为经典的变分不等式问题:

〈Tu,v-u〉 ≥0,∀v ∈K.

定义1 称映射T∶H→H 为g-μ-Lipschitzian 连续:如果存在常数μ>0,使得

‖Tx-Ty‖≤μ‖g(x)-g(y)‖,∀g(x),g(y)∈K.

定义2 称映射T∶H→H 为g-r-强单调:如果存在常数r>0,使得

〈Tx-Ty,g(x)-g(y)〉 ≥r‖g(x)-g(y)‖2,∀g(x),g(y)∈K.

定义3 称映射T∶H→H 为g-α-强制:如果存在常数α>0,使得

〈Tx-Ty,g(x)-g(y)〉 ≥α‖Tx-Ty‖2,∀g(x),g(y)∈K.

定义4 称映射T∶H→H 为g-(γ,r)-松弛强制:如果存在常数γ>0,r>0,使得

〈Tx-Ty,g(x)-g(y)〉 ≥-γ‖Tx-Ty‖2+r‖g(x)-g(y)‖2,∀g(x),g(y)∈K.

注1 当g=I 时,上述各项定义即转化为文献[15] 中定义的μ-Lipschitzian 连续、r-强单调、α-强制和(γ,r)-松弛强制.

注2 g-r-强单调映射一定是g-(γ,r)-松弛强制映射,但其逆命题并不成立.因此,g-(γ,r)-松弛强制映射是比g-r-强单调映射更一般的映射.

引理1 设{an},{bn},{λn}为三个非负数序列,如果λn∈[0,1] 且满足不等式:

an+1≤(1-λn)an+bn,∀n ≥0,

其中,,则=0.

引理2 如果一个给定的u ∈H,g(u)∈K 为上面变分不等式问题的解,当且仅当

g(u)=PK[g(u)-ρTu],ρ>0,

其中PK为H 在K 上的投影,PK为非扩张映射.

定理1 设u是一般变分不等式问题(1)的解,T 为g-(γ,r)-松弛强制映射且g-μ-Lipschitzian 连续,则

‖PK[g(un)-ρTun]-g(u)‖2≤(1-2ρr+2ργμ2+ρ2μ2)‖g(un)-g(u)‖2.

证明 由引理2 和T 为g-(γ,r)-松弛强制映射且g-μ-Lipschitzian 连续,则

定理2 设u是一般变分不等式问题(1)的解,T 为g-(γ,r)-松弛强制映射且g-μ-Lipschitzian 连续.如果σnnnnn∈[0,1],并满足下列条件:

则由算法:对一个给定的u0∈H,g(u0)∈K,由下列迭代格式计算un+1:

得到的序列{un}收敛到u,即=u.

证明 由条件(ⅰ)和定理1,得

‖PK[g(un)-ρTun]-g(u)‖≤θ‖g(un)-g(u)‖,

其中,θ=,0 < θ < 1.

同理可得

‖PK[g(vn)-ρTvn]-g(u)‖≤θ‖g(vn)-g(u)‖,

‖PK[g(wn)-ρTwn]-g(u)‖≤θ‖g(wn)-g(u)‖.

由引理2 得

类似地,有

‖g(wn)-g(u)‖≤‖g(un)-g(u)‖.

由式(ⅱ)和引理2,得

由引理1 得-g(u)‖=0.又因为g 是连续可逆映射,因此,即=u.(www.chuimin.cn)

定理3 设u是变分不等式问题(2)的解,T 为(γ,r)-松弛强制映射且μ-Lipschitzian 连续.如果σnnnnn∈[0,1],并满足下列条件:

则由算法:对一个给定的u0∈H,由下列迭代格式计算un+1:

得到的序列{un}收敛到u,即=u.

证明 在定理2 的证明中令g=I,同理可证.

下面研究一类非凸变分不等式问题:设T 为非线性算子,Kr为Hilbert空间H 中的非凸子集,求u ∈Kr,使得

〈Tu,v-u〉 ≥0,∀v ∈Kr.

Wiener-Hopf 方程与变分不等式问题存在紧密联系,为了方便表示,设QKr=I -SPKr,其中PKr是投影算子,I 是单位算子,S 为非扩张映象.对于给定的非线性算子T,求z ∈H 满足

TSPKrz+ρ-1QKrz=0.

称该式为非线性Wiener-Hopf 方程,当r=∞,S=I 时,方程退化为求解经典变分不等式问题的辅助wiener-Hopf 方程.

设u 为Hilbert 空间H 中的一点,以表示H 到K 的距离,称

为K 在u 的近似正规锥,其中PK[u]={u∈K∶dK(u)=‖u-u‖}.称为Clarke 正规锥,其中表示凸集的闭包.显然,是闭凸集,但近似正规锥是凸集,却不一定是闭集[61].

设Kr为H 中的一个非空子集,对给定的常数r ∈(0,∞],如果Kr的每一个非零近似正规锥 都可以表示为一个r-球,即对任意u ∈Kr,满足

则称Kr为一致近似正规集.

一致近似正规集包含凸集,p-凸集,H 中的C1,1 子流形(可能包含边界)等类型的凸集和非凸集.如果r=∞,则一致近似正规集Kr与K 等价,即Kr=K; 如果Kr是一致近似正规集,则近似正规锥是闭的集值映象,所以.

引理3 设K 为H 的非空闭子集,如果Kr={u ∈H∶d(u,K)< r}是一致近似正规集,则

(ⅰ)∀u ∈Kr,PKr(u)≠0.

(ⅱ)∀r′∈(0,r),PKr是δ-Lipschitz 连续算子,其中常数

(ⅲ)近似正规锥 是闭的集值映象.

引理4 u ∈Kr为非凸变分不等式(1)的解的充分必要条件是u=PKr[u-ρTu],其中 为H 在一致近似正规集Kr上的投影.

设S∶Kr→Kr为非扩张映象,F(S)表示S 的不动点集,以VI(T,Kr)表示非凸变分不等式的解集,WHE(T,S)表示Wiener-Hopf 方程的解集,并且假设F(S)∩WHE(T,S)≠∅.

记F(u)=PKr[u-ρTu],则F(u)的不动点即非凸变分不等式的解.据此,分析非凸变分不等式问题和非线性Wiener-Hopf 方程的等价性.

定理4 u∈F(S)∩VI(T,Kr)的充分必要条件是z∈WHE(T,S),并满足

u=SPKrz,z=u-ρTu.

证明 设u∈F(S)∩VI(T,Kr),由引理2 得

u=Su=PKr[u-ρTu]=SPKr[u-ρTu].

并且该式可以另记为

u=SPKrz,z=u-ρTu.

所以z恰好是非线性Wiener-Hopf 方程的解.

z=u-ρTu=SPKrz-ρTSPKrz,

定理5 设Kr为H 中的一致近似正规子集,PKr是δ-Lipschitz 连续算子,其中,∀r′∈(0,r).设T∶Kr→Kr为松弛(γ,r)-余强制映象且μ-Lipschitz 连续.如果=∞,且常数ρ>0 满足

则由算法定z0∈H,

得到的序列{zn}收敛到z∈F(S)∩WHE(T,S).

证明 设u∈F(S)∩WHE(T,S),由(3)式和定理1 得

由于T 为(γ,r)-松弛强制映象且μ-Lipschitz 连续,因此

由S 的非扩张性得

其中由(6)式不难验证θ ∈(0,1),进一步整理得

因为,且θ ∈(0,1),所以0.由(10)式得 ‖zn-z‖=0,即序列{zn}收敛到z∈F(S)∩WHE(T,S).