不动点与零点定理应用

E 为一实Banach 空间,E∗为E 的对偶空间,〈·,·〉表示广义对偶对,称J∶E→2E∗为正规对偶映像,如果

Jx={f ∗∈E∗∶〈x,f ∗〉=‖x‖2=‖f ∗‖2},∀x ∈E.

今后均用j 表示单值赋范对偶映射.若E 中存在序列{xn}弱收敛到x,使得J(xn)依范数弱收敛到J(x),则称E 具有弱连续对偶映射.

若S={x ∈E∶‖x‖=1}为E 的单位球面,对任意的x,y ∈一致存在,则称E 的范数是一致Gateaux 可微的.设E 为一实Banach 空间,C 为E 的一个非空闭凸子集.若映射T∶C→C满足条件

‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖,∀x,y ∈C,

则称T 为非扩张的映射.记F(T)为T 的不动点集,即F(T)={x ∈C∶Tx=x}.若映射f∶C→C,存在一个实数ρ ∈(0,1)并且满足

‖f(x)-f(y)‖≤ρ‖x-y‖,∀x,y ∈C,

则称f 为具有系数ρ 的压缩映射.

引理1　设C 为实Banach 空间E 的非空闭凸子集.T∶C→C 为非扩张映射,F(T)≠ϕ.对任意固定的u ∈E 以及t ∈(0,1),则由x|→tu＋(1-t)Tx 所定义的压缩算子的唯一不动点zt,在t→0 时强收敛于p ∈F(T),其中p 是与u 的距离最近的一点.

引理2　设E 为一实Banach 空间,E∗为E 的对偶空间,J∶E→2E∗为正规对偶映像,则对任意的x,y ∈E,有

‖x＋y‖2≤‖x‖2＋2〈y,j(x＋y)〉,∀j(x＋y)∈J(x＋y).

引理3　设E 为具有一致Gateaux 可微范数的实Banach 空间,则正规对偶映像J 是单值的且在E 的任意有界子集上由E 的范数拓扑到E∗的弱拓扑是一致连续的.

引理4　设{an},{bn},{cn}均为非负实数列,对任意λn∈[0,1],若存在正整数N 使得

an＋1≤(1-λn)an＋bn＋cn,∀n ≥N.

其中,则=0.

称序列{xn}满足条件(C):设E 是一个实Banach 空间,Tn∶C→C 是一族非扩张映射,若序列{xn}弱收敛于x 且xn-Tnxn→0,则x ∈F,其中F=∩n≥1F(Tn).

假设C ⊆E 是有界闭凸子集,称映射Q∶E→C 为阳光的;若Q(tx＋(1 -t)Q(x))=Q(x),称映射Q∶E→E 是压缩的映射,当且仅当Q2=Q.若Q 是压缩的,则Q(z)=z,∀z ∈R(Q),其中R(Q)是Q 的值域.

引理5　设C 是光滑Banach 空间E 的非空子集.Q∶E→C 是一个压缩映射.J 是常规对偶映射,则如下几条等价:

(ⅰ)Q 是阳光非扩张的;

(ⅱ)〈x-Q(x),J(y-Q(x))〉≤0,∀x ∈E,y ∈C.

定理1　设C 为实Banach 空间E 的非空闭凸子集,T∶C→C 为非扩张映射,f∶C→C 为具有系数ρ 的压缩映射.如果定义算子:

其中t ∈(0,1),n ≥0,则Tt,n是压缩的,且Tt,n的不动点列强收敛到T 的不动点.

证明　设∀x,y ∈C,由f 的压缩性以及T 的非扩张性,得

因为ρ ∈(0,1),所以0 < < 1,即Tt,n为压缩映射.由Banach 压缩映象原理可知,Tt,n存在唯一的不动点,记作pt,n,即

由引理1,得=pn∈F(T).假设存在另一个不动点pm,且=pm,则pn,pm均是距f 的不动点最近的点.因此pn=pm=p ∈F(T),所以p ∈F(T).

定理2　设E 为具有一致Gateaux 可微范数的实Banach 空间,C 为E 的非空闭凸子集.T∶C→C 为非扩张映射,且F(T)≠∅.设f∶C→C 为具有系数ρ 的压缩映射,Tt,n由定理1 所定义的压缩映射.如果实数序列{αn},{βn},{γn},{εn}为(0,1)中的实数序列,且满足下列条件:

则由得到的序列

{xn}有界,且强收敛于T 的不动点p,其中p 是满足如下变分不等式的唯一解:

〈p-f(p),x-p〉 ≥0,∀x ∈C.

证明　设p ∈F(T),由T 的非扩张性得

‖yn-p‖=‖εnxn＋(1-εn)Txn-p‖≤‖xn-p‖.

对于∀n ≥0,由T 的非扩张性和f 的压缩性,有

记,则‖xn-p‖≤M1.所以{xn}有界,进一步可得{yn},{Txn},{Tyn}均有界.

另一方面,由引理2 可知

若记M2=sup‖xn-p‖2,整理上式得

由定理1,不妨设pt,n为Tt,n的唯一不动点,将定理1 所得的pt,n另记为

于是

所以

其中M3=sup{‖xn-Txn‖2＋2‖xn-Txn‖‖xn-pt,n‖,n ≥0}.由条件(ⅲ)得

其中M4≥sup{‖pt,n-xn‖2,0 < t < 1,n ≥0}.得

又因为=p,所以

得

记αn,则由和引理4,可知‖xn-p‖=0,即{xn}强收敛于p ∈F(T),且p 是变分不等式〈p-f(p),x-p〉 ≥0,∀x ∈C 的解.

若另外有一个 也是变分不等式〈p-f(p),x-p〉 ≥0,∀x ∈C 的解,则

以及

将两式相加,得‖p-‖2≤ρ‖p-‖2,0 < ρ < 1.所以p=,因此p 是满足如下变分不等式的唯一解:

〈p-f(p),x-p〉 ≥0,∀x ∈C

定理3　设E 为具有一致Gateaux 可微范数的实Banach 空间,C 为E 的非空闭凸子集.T∶C→C 为非扩张映射,且F(T)≠∅.设f∶C→C 为具有系数ρ 的压缩映射,Tt,n由定理2 所定义的压缩映射.如果定义序列

xn＋1=αnf(xn)＋βnxn＋γnTxn

其中,{αn},{βn},{γn},{εn}为(0,1)中的实数序列,αn＋βn＋γn=,则{xn}有界,且强收敛于T 的不动点.

设C 是Banach 空间中的非空闭凸子集,参数族Γ={T(s)∶s ∈R＋}被称为非扩张半群,若满足以下条件:

(ⅰ)T(0)x=x,∀x ∈C;

(ⅱ)T(s＋t)=T(s)T(t),∀s,t ∈R＋;

(ⅲ)‖T(s)x-T(s)y‖≤‖x-y‖,∀x,y ∈C,s ≥0;

(ⅳ)∀x ∈C,映射T(·)x∶R＋→C 是连续的.

F(Γ)表示Γ 的不动点集,即F(Γ)={x ∈C,T(s)x=x,0≤x < ∞}.

设C 是Hilbert 空间中的非空闭凸子集.参数族Γ={T(t)∶t ∈R＋}被称为Lipschitz 映射的强连续半群,若满足以下条件:

(ⅰ)T(0)x=x,∀x ∈C;

(ⅱ)T(s＋t)=T(s)T(t),∀s,t ∈R＋;

(ⅲ)∀t>0,存在一个有界测度函数Lt∶(0,＋∞)→[0,＋∞)使得

‖T(t)x-T(t)y‖≤Lt‖x-y‖,∀x,y ∈C;

(ⅳ)∀x ∈C,映射T(·)x∶R＋→C,若Lt=1,Lipschitz 映射的强连续半群被称为非扩张映射的强连续半群.

若supLt≤1,则称它是渐近非扩张映射的强连续半群.

若存在x0使得T(t)x0=x0,∀t ≥0,称Γ 有一个不动点.F(Γ)表示Γ 的不动点集,即F(Γ)=∩t∈R＋F(T(t)).

定理4　设C 为实Banach 空间E 的非空闭凸子集,T∶C→C 为非扩张映射,f∶C→C 为具有系数ρ 的压缩映射.如果定义算子:

其中t ∈(0,1),n ≥0,=∞,则Tt,n是压缩的,且Tt,n的不动点列强收敛到T 的不动点.

定理5　设E 为具有一致Gateaux 可微范数的实Banach 空间,C 为E 的非空闭凸子集.Γ={T(s)∶s ∈R＋}为非扩张半群,且F(T)≠ϕ.设f∶C→C 为具有系数ρ 的压缩映射,Tt,n由定理4 所定义的压缩映射.如果实数序列{αn},{βn},{γn},{εn}为(0,1)中的实数序列,且满足下列条件:

则由得到的序列

{xn}有界,且强收敛于T 的不动点p,其中p 是满足如下变分不等式的唯一解:

〈p-f(p),x-p〉 ≥0,∀x ∈C.

定理6　设E 为具有一致Gateaux 可微范数的实Banach 空间,C 为E 的非空闭凸子集.Γ={T(s)∶s ∈R＋}为非扩张半群,且F(T)≠∅.设f∶C→C 为具有系数ρ 的压缩映射,Tt,n由定理4 所定义的压缩映射.如果实数序列{αn},{βn},{γn},{εn}为(0,1)中的实数序列,且满足下列条件:

则由得到的序列

{xn}有界,且强收敛于T 的不动点p,其中p 是满足如下变分不等式的唯一解:

〈p-f(p),x-p〉 ≥0,∀x ∈C.

定理7　设E 为具有一致Gateaux 可微范数的实Banach 空间,C 为E 的非空闭凸子集.Γ={T(s)∶s ∈R＋}为非扩张半群,且F(T)≠∅.设f∶C→C 为具有系数ρ 的压缩映射,Tt,n由定理4 所定义的压缩映射.如果实数序列{αn},{βn},{γn},{εn}为(0,1)中的实数序列,且满足下列条件:

则由得到的序列

{xn}有界,且强收敛于T 的不动点p,其中p 是满足如下变分不等式的唯一解:

〈p-f(p),x-p〉 ≥0,∀x ∈C.

引理6　设C 为实Banach 空间E 的非空闭凸子集,T∶C→C 为非扩张映射,f∶C→C 为具有系数ρ 的压缩映射.如果定义算子:

Tt,nx=(1-γn-tβn)u＋(1-αn)tf(x)＋(1-t)γnTx.

其中t ∈(0,1),n ≥0,αn＋βn＋γn=1,则Tt,n是压缩的,且Tt,n的不动点列强收敛到T 的不动点.

证明　设∀x,y ∈C,由f 的压缩性以及T 的非扩张性,得

因为ρ ∈(0,1),所以0 < γn＋tρβn< 1,即Tt,n为压缩映射.由Banach压缩映象原理可知,Tt,n存在唯一的不动点,记作pt,n,即

由引理1,得=pn∈F(T).若假设存在另一个不动点pm,且=pm,则pn,pm均是距f 的不动点最近的点.因此pn=pm=p ∈F(T),所以pt,n=p ∈F(T).

定理8　设E 为具有一致Gateaux 可微范数的实Banach 空间,C 为E 的非空闭凸子集.T∶C→C 为非扩张映射,且F(T)≠ϕ.设f∶C→C 为具有系数ρ 的压缩映射,Tt,n由引理5 所定义的压缩映射.如果实数序列{αn},{βn},{γn},{εn}为(0,1)中的实数序列,且满足下列条件:

则由得到的序列

{xn}有界,且强收敛于T 的不动点p,其中p 是满足如下变分不等式的唯一解:

〈p-f(p),x-p〉 ≥0,∀x ∈C.

定理9　设E 为具有一致Gateaux 可微范数的实Banach 空间,C 为E 的非空闭凸子集.T∶C→C 为非扩张映射,且F(T)≠∅.设f∶C→C 为具有系数ρ 的压缩映射,Tt,n由引理5 所定义的压缩映射.如果定义序列

xn＋1=αnf(xn)＋βnxn＋γnTxn

其中{αn},{βn},{γn},{εn}为(0,1)中的实数序列,αn＋βn＋γn=,则{xn}有界,且强收敛于T 的不动点.

若在定理3 或定理9 中令f ≡u 为一常数函数,则有如下的结论:

定理10　设E 为具有一致Gateaux 可微范数的实Banach 空间,C 为E的非空闭凸子集.T∶C→C 为非扩张映射,且F(T)≠∅.设f∶C→C 为具有系数ρ 的压缩映射,Tt,n由定理2 或者引理5 所定义的压缩映射.如果定义序列

xn＋1=αnu＋βnxn＋γnTxn

其中{αn},{βn},{γn},{εn}为(0,1)中的实数序列,αn＋βn＋γn=1,=∞,则{xn}有界,且强收敛于T 的不动点.

引理7　设{xn},{yn}是Banach 空间E 中的有界序列,{βn}是[0,1]中的序列,且< 1.假设xn＋1=βnyn＋(1 -βn)xn,n ≥0,若sup(‖yn＋1-yn‖-‖xn＋1-xn‖)≤0,则‖yn-xn‖=0.

设C 为E 的非空闭凸子集,T∶C→C 为渐近非扩张映射,f∶C→C 为具有压缩系数ρ 的压缩映射.若定义

Tmum=(1-αm)T(tm)um＋αmf(um)

其中tm∈R＋,m>0.则有如下的结论:

引理8　设C 为具有一致Gateaux 可微范数的自反严格凸的实Banach空间E 的非空闭凸子集,Γ={T(t)∶t ∈R＋}为具有Lipschitz 系数{Lt}⊂[1,∞)的渐近非扩张映射的强连续半群,f∶C→C 为具有压缩系数ρ 的压缩映射.假设F(Γ)≠∅,算子Tm由上式所定义,其中αm⊂(0,1),Ltm-1 <αm,tm∈R＋,且,则∀m ≥0 时Tm是压缩的.

证明　设∀{um},{vm}∈C,由f 的压缩性以及T 的渐近非扩张性,可得

因为Ltm-1 < αm,0 < ρ < 1,所以Ltm(1 -αm)＋ραm< 1＋αm(ρ -1)< 1,所以Tm为压缩映射.

由Banach 压缩映象原理可知Tm有唯一的不动点um,使得Tmum=um,即

um=Tmum=(1-αm)T(tm)um＋αmf(um)

利用文献[51]中定理3．1 的证明方法可知um强收敛于F(Γ)的一个点,记为点p,即um→p ∈F(Γ).

定理11　设C 为具有一致Gateaux 可微范数的自反严格凸的实Banach 空间E 的非空闭凸子集,Γ={T(t)∶t ∈R＋}为具有Lipschitz 系数{Lt}⊂[1,∞)的渐近非扩张映射的强连续半群,f∶C→C 为具有压缩系数ρ 的压缩映射.假设F(Γ)≠∅,算子Tn由上式所定义,序列{xn},{yn}由

所定义,其中{αn},{βn},{γn},{εn}为(0,1)中的实数序列,且满足

假设{T(tn)}是一致渐近规则的,则{xn}有界,且强收敛于F(Γ)的一个点.

证明　设p ∈F(Γ),由T 的渐近非扩张性得

对于∀n ≥0,由f 的压缩性以及T 的渐近非扩张性,有

记M1=max{‖x0-p‖,d‖f(p)-p‖},其中d=(1-ρ -可见‖xn-p‖≤M1,所以{xn}有界,进一步可得{yn},{f(xn)},{T(tn)xn},{T(tn)yn}均有界.

从而

令,则

由于{T(t)∶t ∈R＋}是一致渐近规则的,且,所以

‖xn-T(tn)xn‖≤‖xn-xn＋1‖＋‖xn＋1-T(tn)xn‖→0.

进而,对∀t ∈R＋,有

另一方面,由引理2 可知

若记M2=sup‖xn-p‖2,整理上式得

由引理5,不妨设um为Tm的唯一不动点.于是

um-xn=αm(f(um)-xn)＋(1-αm)[T(tm)um-xn]

所以

其中M3=sup{‖xn-T(tm)xn‖＋2Ltm‖xn-um‖,n ≥0}.因此

由条件(ⅱ)可得

又=p,所以 sup〈f(p)-p,j(xn-p)〉≤0 记λn=αn,则由引理4 可知, ‖xn-p‖=0,即数列{xn}强收敛于F(Γ)的一个点p ∈F(Γ).

设μ 是l∞上满足‖μ‖=1=μ(1)的连续线性泛函,则μ 是N 上的均值当且仅当

inf{an;n ∈N}≤μ(a)≤sup{an;n ∈N},∀a=(a1,a2,…)∈l∞.

如果以μn(an)代替μ(a),并且满足μn(an)=μn(an＋1),则称均值μn为Banach 极限.

定义映射φ(y)=μn‖xn-y‖2,∀y ∈E,则φ(y)是连续凸的且φ(y)→∞(‖y‖→∞).若E 是自反的,则存在z ∈C 使得φ(z)=φ(y)(见文献[5]、[12]).因此

显然,Cmin是E 的闭凸子集.

引理9　设E 是具有一致Gateaux 可微范数的实Banach 空间,C 是E 的非空闭凸子集.设{xn}是E 中的有界序列,μn是Banach 极限且z ∈C.则

等价于

μn〈y-z,J(xn-z)〉≤0,∀y ∈C.

引理10　设α 是一实数,(x0,x1,…)∈l∞且对Banach 极限满足μn(xn)≤α.若 sup(xn＋1-xn)≤0,则sup xn≤α.

引理11　设{an}为一非负实数序列且满足以下条件:

an＋1≤(1-θn)an＋σn,n ≥0,

其中{θn}是(0,1)中的序列且{σn}是实数列使得

则=0.

Takahashi 为了研究有限族非扩张的强收敛定理及其应用问题,引入了Wn映射的定义:

其中{Ti,i=1,2,…,N}是非扩张映射,由Takahashi[34] 可知,Wn是非扩张的并且.

定理12　设E 是对偶E∗的光滑的严格凸的具有一致Gateaux 可微范数的自反实Banach 空间,C 是E 的非空闭凸子集.令{Ti∶C→C,i=1,2,…,N}是一族非扩张映射,映射Wn由(1)定义使得F=Cmin∩F(Wn)≠∅,f∶C→C 是具有压缩系数ρ ∈(0,1)的压缩映射.设{xn},{yn},{zn}由

所定义,{αn},{βn},{γn},{λn},{εn}为(0,1)中的实数列,且满足

则序列{xn}强收敛于{Ti∶C→C,i=1,2,…,N}的公共不动点p,其中p 是变分不等式〈f(p)-p,j(y-p)〉≤0,∀y ∈F 的唯一解.

证明　由于{Ti,i=1,2,…,N}是非扩张映射,由Takahashi[8] 可知,Wn是非扩张的并且.设p ∈F,由Wn的非扩张性,可知

对于∀n ≥0,由Wn的非扩张性和f 的压缩性,可知

记,则‖xn-p‖≤M,所以{xn}有界,进一步可得{yn},{zn},{Wnxn},{Wnyn},{f(xn)}均有界.(www.chuimin.cn)

下面将说明‖xn＋1-xn‖→0.

令xn＋1=βnxn＋(1-βn)wn,则有

且

‖Wn＋1yn＋1-Wnyn‖≤‖yn＋1-yn‖＋‖Wn＋1yn-Wnyn‖.

又因为yn=εnxn＋(1-εn)Wnzn,所以有

同时

‖xn-Wnzn‖≤‖xn-Wnxn‖＋‖Wnxn-Wnzn‖.

故可得

又因为Ti和Un,m都是非扩张映射,从而可得

其中,M1=max{‖xn‖,‖TN-iUn,N-(i＋1)xn‖}.

令vn=Un,N-1xn,vn＋1=Un＋1,N-1xn,则有

进而有

因此则有

同理可得

其中L1=max{‖yn‖,‖TN-iUn,N-(i＋1)yn‖}.

其中L2=max{}.从而由条件(ⅰ),(ⅱ)和(ⅲ),得

由引理7 得sup‖wn-xn‖=0,因此有

‖xn＋1-xn‖=| 1-βn| ‖wn-xn‖→0.

最后将说明{xn}强收敛于p ∈F.

由于p ∈F=Cmin∩F(Wn),由Cmin的定义,可知μn‖xn-p‖2=,再由引理1 可得

μn〈f(p)-p,j(xn-p)〉≤0.

由于J 是弱一致连续的对偶映象,从而可得

故序列{〈f(p)-p,j(xn-p)〉}满足引理10 的条件.因此必有

另一方面,由引理4 可知

若记M2=sup‖xn-p‖2,整理上式得

令,由于{xn}是有界的,由以及条件(ⅰ)再根据引理11,可得‖xn-p‖=0,即序列{xn}强收敛于Ti∶C→C,i=1,2,…,N 的公共不动点p,可知p 是变分不等式〈f(p)-p,j(y-p)〉≤0,∀y ∈F 的解.

下面说明p 是变分不等式〈f(p)-p,j(y-p)〉≤0,∀y ∈F 的唯一解.假设 ∈F 是该变分不等式的另一解,则有

将两式相加,可得‖p-‖2≤ρ‖p-‖2,0 < ρ < 1,所以p=,即变分不等式解的唯一性得证.

定理13　设E 是具有对偶E∗的光滑的严格凸的具有一致Gateaux 可微范数的自反实Banach 空间,C 是E 的非空闭凸子集.令{Ti∶C→C,i=1,2,…,N}是一族非扩张映射,映射Wn由(1)定义使得F=Cmin∩F(Wn)≠∅,f∶C→C 是具有压缩系数ρ ∈(0,1)的压缩映射.如果定义序列

xn＋1=αnf(xn)＋βnxn＋γnWnxn,

其中{αn},{βn},{γn}为(0,1)中的实数列,且满足

则序列{xn}强收敛于{Ti∶C→C,i=1,2,…,N}的公共不动点p,其中p 是变分不等式〈f(p)-p,j(y-p)〉≤0,∀y ∈F 的唯一解.

定理14　设E 是具有对偶E∗的光滑的严格凸的具有一致Gateaux 可微范数的自反实Banach 空间,C 是E 的非空闭凸子集.令{Ti∶C→C,i=1,2,…,N}是一族非扩张映射,映射Wn由(1)定义使得F=Cmin∩F(Wn)≠∅,f∶C→C 是具有压缩系数ρ ∈(0,1)的压缩映射.如果定义序列

其中{αn},{βn},{γn},{εn}为(0,1)中的实数列,且满足

则序列{xn}强收敛于{Ti∶C→C,i=1,2,…,N}的公共不动点p,其中p 是变分不等式〈f(p)-p,j(y-p)〉≤0,∀y ∈F 的唯一解.

证明　由于{Ti,i=1,2,…,N}是非扩张映射,由Takahashi 可知,Wn是非扩张的并且.设p ∈F,由Wn的非扩张性,可知

‖yn-p‖=‖εnxn＋(1-εn)Wnxn-p‖≤‖xn-p‖.

对于∀n ≥0,由f 的压缩性,可知

记M=max{‖x0-p‖,},则‖xn-p‖≤M,所以{xn}有界,进一步可得{yn},{Wnxn},{Wnyn},{f(xn)}均有界.

令xn＋1=βnxn＋(1-βn)wn,则有

又因为yn=εnxn＋(1-εn)Wnxn,所以有

可得

再类似于定理13,得证.

定理15　设E 是具有对偶E∗的光滑的严格凸的具有一致Gateaux 可微范数的自反实Banach 空间,C 是E 的非空闭凸子集.设Tn∶C→C 是一族非扩张映射使得F=∩n≥1F(Tn)(nmodN)≠∅.设Q∶C→F 是一个阳光非扩张的,f∶C→C 是具有压缩因子ρ ∈(0,1)的压缩映射.若序列{xn}由x1∈C 迭代产生

xn＋1=αnf(xn)＋βnxn＋γnTnxn

其中序列{xn}满足条件(C),{αn},{βn},{γn}是[0,1] 中的非负实数列[0,1],且

则序列xn强收敛于=Q(f())∈F 且 是如下变分不等式的唯一解

证明　首先说明{xn}是有界的.不妨取p ∈F,由于Tn(nmodN)是非扩张的,因此有

‖Tnxn-p‖=‖Tnxn-Tnp‖≤‖xn-p‖.

对于∀n ≥0,根据映射Tn和f 的映射,有

因此,{xn}是有界的,从而可得{Tnxn}和{f(xn)}也有界.

因为,所以‖xn＋1-Tnxn‖.因为序列{xn}是有界的,所以存在{xn}的子序列{xnk}和w ∈C 使得xnk→w,又因为{xn}满足条件(C),所以w ∈F.

因为Q 是阳光非扩张的,f 是压缩映射,所以Q(f)是压缩的,故Q(f)有唯一的不动点,且Q(f)的不动点正是f 的不动点.若令 是f 的不动点,则有=f()=Q(f())∈F,因为J(x)是弱连续的,所以有

同时

令M3=sup‖xn-‖2,则有

其中.若令λn=则可推出=0,即序列{xn}强收敛于Tn的公共不动点.

根据Q 的性质以及上面的推导可知, 是变分不等式的解.下面将说明它是变分不等式的唯一解.

假设 ∈F 是变分不等式的另一个解.因为 也是变分不等式的解,所以〈f()-,j(y-)〉≤0,∀y ∈F.同时有

另一方面,对于 ∈F,因为 ∈F,所以

将这两式相加,可得

即

因此

因为ρ ∈(0,1)所以可推出=,解的唯一性获证.

若在定理15 中,令f ≡u 为一个常数函数,则有下面的推论:

推论　设E 是具有对偶E∗的光滑的严格凸的具有一致Gateaux 可微范数的自反实Banach 空间,C 是E 的非空闭凸子集.设Tn∶C→C 是一族非扩张映射使得F=∩n≥1F(Tn)(nmodN)≠∅.设Q∶C→F 是一个阳光非扩张的,f ≡u ∈C 为常数函数.若序列{xn}由x1∈C 迭代产生

xn＋1=αnu＋βnxn＋γnTnxn

其中序列{xn}满足条件(C),{αn},{βn},{γn}是[0,1] 中的非负实数列[0,1],且

则序列xn强收敛于=Q(f())∈F 且 是如下变分不等式的唯一解

定理16　设E 为实自反Banach 空间,有弱连续的对偶映射J,C 为E 的非空闭凸子集.Tn∶C→C 为一族非扩张映射,F=∩n≥1F(Tn)≠∅为C 的单面非扩张收缩,Q 为单面非扩张收缩,f∶C→C 为具有系数ρ 的压缩映射.设{xn},{yn}由下式所定义

且{xn}满足条件(A).设{αn},{βn},{γn}为(0,1)中的实数列,且满足

则{xn}有界,且强收敛于Tn的公共不动点=Q(f()),其中 是变分不等式〈f()-,j(y-)〉≤0,∀y ∈F 的唯一解.

证明　设p ∈F,由Tn的非扩张性,可知

对于∀≥0n,由Tn的非扩张性和f 的压缩性,可知

记,则‖xn-p‖≤M,所以{xn}有界.进一步可得{yn},{Tnxn},{Tnyn},{f(xn)}均有界.由于{xn}满足条件(A),所以‖xn＋1-Tnxn‖→0.由于E 是自反的,{xn}是有界的,所以存在{xn}的子序列{xnk}使得{xnk}弱收敛到w.由于{xn}满足条件(A),所以w ∈F.

设=Q(f()),由于J(x)是弱连续的,Q 为单面非扩张收缩,利用引理1 可知

另一方面,由引理3 可知

若记M2=sup‖xn-‖2,整理上式,则可得

令因为≤0,同时利用引理2,可知=0,即数列{xn}强收敛于Tn的公共不动点.由Q的性质可知, 是变分不等式〈f()-,j(y-)〉≤0 的解.假设 ∈F 是该变分不等式的另一解,则有

将两式相加,可得=,即 的唯一性得证.

定理17　设E 为具有一致Gateaux 可微范数的Banach 空间,K 为E 的一个非空闭凸子集,T∶K→K 为非扩张映射且F(T)∩Kmin≠∅.如果αn,,并满足下列条件:

则由式

定义的迭代序列{xn}有界,且{xn}强收敛于T 的某个不动点p.

证明　设p ∈F(T)∩Kmin,由T 的非扩张性得

记,由数学归纳法得‖xn-p‖≤M,即{xn}为有界序列.

由于和p=Tp,则由引理1 得

μn〈f(p)-p,J(xn-p)〉≤0.

又因为正规对偶映像J∶E→2E∗在具有一致Gateaux 可微范数的Banach 空间E 上是单值的,且在E 的任意有界子集上由E 的范数拓扑到E∗的弱∗拓扑是一致连续的,则由(ⅱ)可得

即序列{〈f(p)-p,J(xn-p)〉}满足引理2 中的条件,所以

另一方面,因为f ∈∏K,且压缩系数,由引理3 得

整理上式得

取,由(ⅰ)可得γn∈(0,1)且

由引理5 得 ‖xn-p‖=0,即序列{xn}强收敛于不动点p ∈F(T).

定理18　设E 为具有一致Gateaux 可微范数的Banach 空间,K 为E 的一个非空闭凸子集,T∶K→K 为非扩张映射且F(T)∩Kmin≠∅.如果αn,βn∈(0,1),f ∈∏K,并满足下列条件:

则由式

定义的迭代序列{xn}有界,且{xn}强收敛于T 的某个不动点p.

证明　设p ∈F(T)∩Kmin,由式(4)得

可得‖xn-p‖≤M,即{xn}为有界序列.

另一方面,因为f ∈∏K,压缩系数ρ ∈(0,1),由引理3 得

记,并整理上式得

取,由(ⅰ)得

因此 ‖xn-p‖=0,即序列{xn}强收敛于不动点p ∈F(T).

定理19　设E 为具有一致Gateaux 可微范数的Banach 空间,K 为E 的一个非空闭凸子集,T∶K→K 为非扩张映射且F(T)∩Kmin≠∅.如果αn,βn∈(0,1),f ∈∏K,并满足下列条件:

则由式

定义的迭代序列{xn}有界,且{xn}强收敛于T 的某个不动点p.

证明　由定理18得{xn},{f(xn)},{Txn}有界.记M2≥max{‖f(xn)-xn‖,‖Txn-xn‖,‖xn-p‖},则

‖xn＋1-xn‖≤αn‖f(xn)-xn‖＋(1 -αn)βn‖Txn-xn‖≤(αn＋βn)M2,

由(ⅰ)和 可得‖xn＋1-xn‖=0.由定理2 得{xn}强收敛于不动点p ∈F(T).

另一方面,如果 βn< 1,令γn=(1 -αn)βn,n ≥0,并定义xn＋1=γnxn＋(1-γn)zn,则

由T 的非扩张性得

由(ⅰ)及{f(xn)},{Txn}的有界性,得

由引理4 得‖zn-xn‖=0.又因为xn＋1-xn=(1-γn)(zn-xn),所以 ‖xn＋1-xn‖=0.由定理2 得{xn}强收敛于不动点p ∈F(T).

定理20　设E 为具有一致Gateaux 可微范数的实Banach 空间,E∗为E的对偶空间,K 为E 的一个非空闭凸子集,T1,T2,…,TN∶K→K 为非扩张映象且F ∩Kmin≠∅.如果αn,βn∈(0,1),f ∈∏K,并满足下列条件:

则由式

定义的迭代序列{xn}强收敛到T1,T2,…,TN的某个公共不动点p.

证明　首先,证明序列{xn}有界.设p ∈F ∩Kmin,则

类似地,递推可得

因此{xn}有界,进一步可得{f(xn)}和{Wnxn}有界.

其次,证明 ‖xn＋1-xn‖=0.令γn=(1-αn)βn,n ≥0,则由(ⅰ)和(ⅱ)得

如果定义xn＋1=γnxn＋(1-γn)zn,则得

由此可得

因为Ti和Un,N为非扩张映象,则得

其中常数,n ≥1},并且

因此,有

得

得

由条件(ⅰ)αn→0 和(ⅲ)=0,得

由引理3 得

并且

最后,证明{xn}强收敛到p ∈F.因为和p=Tp,由引理1 得

μn〈f(p)-p,J(xn-p)〉≤0.

由于正规对偶映象J∶E→2E∗在一致Gateaux 可微范数的Banach 空间E 上是单值的,且在E 的任意有界子集上由E 的范数拓扑到E∗的弱拓扑是一致连续的,则由(11)得

即序列{〈f(p)-p,J(xn-p)〉}满足引理2 中的条件,所以

另一方面,由于f ∈∏K,且压缩系数ρ ∈(0,1),由引理4 得

整理可得(不妨记

其中.由

(ⅰ)得

由引理5 得

即序列{xn}强收敛于不动点p ∈F(T).

定理21　设E 为具有一致Gateaux 可微范数的实Banach 空间,E∗为E的对偶空间,K 为E 的一个非空闭凸子集,T1,T2,…,TN∶K→K 为非扩张映象且F ∩Kmin≠∅.如果αn,βn∈(0,1),f ∈∏K,并满足下列条件:

则由定理20 定义的迭代序列{xn}强收敛到T1,T2,…,TN的某个公共不动点p.

定理22　设E 为具有一致Gateaux 可微范数的实Banach 空间,E∗为E的对偶空间,K 为E 的一个非空闭凸子集,T∶K→K 为非扩张映象且F(T)∩Kmin≠∅.如果αn,βn∈(0,1),f ∈∏K,并满足下列条件:

则由式定理20 定义的迭代序列{xn}强收敛到T 的某个不动点p.