Hilbert空间非扩张映象的不动点定理及应用

2023-10-20 理论教育版权反馈

【摘要】：下面将给出几个关于第(1)类非扩张映象在Hilbert 空间上的定义和定理.定理1(Browder-Petryshyn)设H 是一个Hilbert 空间,C 为Hilbert 空间H 的非空有界闭凸子集.设T∶C→C 使第(1)类非扩张型映象,则T 在C中存在不动点.通常用F(T)来表示T 的不动点集,即F(T)={x ∈C∶Tx=x}.定理2(Browder)设X 是一致凸Banach 空间

下面将给出几个关于第(1)类非扩张映象在Hilbert 空间上的定义和定理.

定理1(Browder-Petryshyn)　设H 是一个Hilbert 空间,C 为Hilbert 空间H 的非空有界闭凸子集.设T∶C→C 使第(1)类非扩张型映象,则T 在C中存在不动点.通常用F(T)来表示T 的不动点集,即F(T)={x ∈C∶Tx=x}.

定理2(Browder)　设X 是一致凸Banach 空间.设K 是X 中的有界闭凸集,T∶K→K 是第(1)类的非扩张型映象,则T 在K 中存在不动点.

定理3(非扩张映象的择一定理)　设H 是一个Hilbert 空间,设B(θ,d)是H 中以θ 为心、d 为半径的闭球,T∶B(θ,d)→H 是第(1)类的非扩张型映象,则下列结论成立:

(ⅰ)T 有不动点;

(ⅱ)存在一个x0∈B(θ,d)和一个数λ ∈(0,1)使得x0=λTx0.

推论　设T 满足定理3 的条件,再设对每一个x ∈∂B(θ,d),下面任意条件满足:

(ⅰ)‖Tx‖≤‖x‖;

(ⅱ)‖Tx‖≤‖x-Tx‖;

(ⅲ)‖Tx‖2≤‖x‖2＋‖x-Tx‖2;

(ⅳ)(x,Tx)≤‖x‖2;

则T 在球B 中存在不动点.

定义1　设H 是一个Hilbert 空间,C 为Hilbert 空间H 的非空闭凸子集.一映象T∶C→C 称为在x ∈C 是渐近正则的,如果Tn＋1(x)‖=0.

定理4　设H 是一个Hilbert 空间,C 为Hilbert 空间H 的非空闭凸子集.设T∶C→C 是第(1)类的非扩张型映象,F(T)是T的不动点集.则对每一个s ∈(0,1),映象

Ts(x)=sx＋(1-s)Tx

与T 有同一不动点集,而且对每一s ∈(0,1)和每一x ∈C,Ts在x 是渐近正则的.

定义2　设X 是一个Banach 空间,C 为X 的非空闭凸子集.T∶C→X 的映象,称T 为半紧的.如果{xn}是C 中的任一有界序列且{Txn-xn}强收敛,则存在{xn}的强收敛子序列{xnk}.

定理5(Browder-Petryshyn)　设H 是一个Hilbert 空间,C 为Hilbert 空间H 的非空闭凸子集.设T∶C→C 是半紧的第(1)类的非扩张型映象,则T的不动点集F(T)是非空的闭凸集,且对每一个s ∈(0,1),序列

xn=sTxn-1＋(1-s)xn-1,n=1,2,…

强收敛于T 的一个不动点.

定理6(Ray)　设K 为Hilbert 空间H 的非空闭凸子集,则对一切第(1)类的非扩张型映象都在K 中存在不动点的充要条件是K 是有界的.

这一定理表明,如果K 不是有界的,则必定存在第(1)类的非扩张型映象,在K 中无不动点.

上面的定理说明了第(1)类非扩张型映象的不动点的存在性.下面介绍一些迭代序列说明它们的强收敛性与第(1)类非扩张型映象的不动点之间的关系.(www.chuimin.cn)

设C 为Hilbert 空间H 的非空闭凸子集,T∶C→C,若‖x-Tx‖≤‖x -y‖,有‖Tx -Ty‖≤‖x -y‖,∀x,y ∈C,称T 满足条件(C).可见若T 满足条件(C),则T 是非扩张的.

设C ⊆E 为有界凸的,Q∶E→C 为一映射.若Q(tx＋(1-t)Q(x))=Q(x),称Q 是单面的.若Q∶E→E,且Q2=Q,则称Q 是一个收缩.如果Q 是一个收缩,则有Q(z)=z,∀z ∈R(Q),其中R(Q)是Q 的值域.

若从E 到C 存在一个单面非扩张收缩,称C 为E 的单面非扩张收缩.

引理1　设E 为光滑的Banach 空间,C 为E 的一个非空子集,Q∶E→C为一收缩.J 为正规对偶映射,则下列式子是等价的:

(ⅰ)Q 是单面非扩张的.

(ⅱ)〈x-Q(x),J(y-Q(x))〉≤0,∀x ∈E,y ∈C.

引理2　设{an},{bn},{cn}均为非负实数列,对任意λn∈[0,1],若存在正整数N 使得

an＋1≤(1-λn)an＋bn＋cn,∀n ≥N.

其中 pagenumber_ebook=113,pagenumber_book=106 ,则=0.

为了寻找非扩张映射的不动点集中的元素,1967年Halpern 首先研究了如下迭代序列:

xn＋1=αn＋1u＋(1-αn＋1)T(xn).

2000年,Moudafi 在Hilbert 空间中介绍了如下的黏性迭代法并在适当的条件下证明了算法的强收敛性.

xn＋1=αnf(xn)＋(1-αn)T(xn).

Moudafi 在黏性逼近方法这个方向上推广了Halpern’s 定理.

2008年,姚永红等介绍了关于非扩张映射的如下的修正Mann 迭代法并获得了相关的强收敛定理:

Takahashi 介绍了如下的序列并在不同的条件下分别研究了F(T)∩VI(C,A)中元素的强、弱收敛定理:

xn＋1=αnxn＋(1-αn)TPC(xn-λnAxn),

其中T 是非扩张映射,A 是α 逆强单调算子.

2004年,Liduka 等研究了如下序列:

其中{αn}[0,2γ] 中的序列,A 是一个α 逆强单调算子,则序列{xn}强收敛于z0=PVI(C,A)x0.

2008年,Takahashi 等在Hilbert 空间中证明了下面序列的强收敛性:x0∈H: 对于G1=C,u1=PC1x0;

其中0≤αn< α < 1,T 是非扩张的,则序列{un}强收敛于z0=PF(T)x0.

Hilbert空间非扩张映象的不动点定理及应用

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