非扩张型映象的分类-不动点与零点的迭代逼近及应用

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：设(X,d)是一完备的度量空间,T 是X 的自映像.T 称为非扩张映象(以后称为第(1)类非扩张型映象),如果d(Tx,Ty)≤d(x,y)x,y ∈X.非扩张映象是Banach 压缩映象的一种自然的推广,这种映象在近代许多数学分支,其中特别是在非线性半群、遍历理论和单调算子理论有许多重要的应用.一般说来,非扩张映象不一定存在不动点,所以下面将介绍非扩张映象不动点的存在性.先介绍非扩张型映象的分类

设(X,d)是一完备的度量空间,T 是X 的自映像.T 称为非扩张映象(以后称为第(1)类非扩张型映象),如果

d(Tx,Ty)≤d(x,y)∀x,y ∈X.

非扩张映象是Banach 压缩映象的一种自然的推广,这种映象在近代许多数学分支,其中特别是在非线性半群、遍历理论和单调算子理论有许多重要的应用.一般说来,非扩张映象不一定存在不动点,所以下面将介绍非扩张映象不动点的存在性.先介绍非扩张型映象的分类.值得注意的是,若非扩张映象T∶X→X 有不动点,则它未必是唯一的(如恒等映射)并且由xn＋1=Txn定义的序列{xn}也可能不强收敛于T 的不动点.

设(X,d)是一完备的度量空间,T 是X 的自映象.如果满足下面的一条件(m),m=1,2,…,5 则称T 是属于第(m)类的非扩张型映象.

其中a,b,c ≥0,且a＋2b＋2c≤1.

或等价于

其中a,b,c 为x,y 的非负函数且a(x,y)＋2[b(x,y)＋c(x,y)]≤1.

第(1)类非扩张型映像为通常的非扩张映像,第(2)类非扩张型映像为Kannan 型非扩张映象.这两类映象分别是第(3)类映象当b=c=0,a≤1 和a=c=0,b≤时的特例.第(3)类和第(4)类非扩张映象有时称为平均非扩张映象.显然第(1)类映象至第(4)类映象都是第(5)类映象的特例.

对于第(1)类非扩张型映象,记C 为Hilbert 空间H 的非空子集,‖·‖表示范数,则有如下的定义:

若映射T∶C→C 满足条件

‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖,∀x,y ∈C,

则称T 为非扩张的映射.

若映射T∶C→C 满足条件

‖Tx-Ty‖2≤‖x-y‖2-‖(I-T)x-(I-T)y‖2,∀x,y ∈C,

则称T 为严格非扩张的映射.

若映射T∶C→C 满足条件

F(T)≠∅,‖Tx-p‖≤‖x-p‖,∀x ∈C,p ∈F(T),

则称T 为拟非扩张的映射.

若映射T∶C→C 满足条件

2‖Tx-Ty‖2≤‖Tx-y‖2＋‖Ty-x‖2,∀x,y ∈C,

则称T 为非传播的映射,即(https://www.chuimin.cn)

‖Tx-Ty‖2≤‖x-y‖2＋2〈x-Tx,y-Ty〉,∀x,y ∈C.

若存在常数α ∈[0,1] 使得映射T∶C→C 满足条件

‖Tx -Ty‖2≤‖x -y‖2＋α‖(I -T)x -(I -T)y‖2＋2〈x -Tx,y -Ty〉,∀x,y ∈C,

则称T 为α 强伪非传播的映射.

称映射T∶C→C 是Lipschitz 连续的,若存在常数L>0 使得

‖Tx-Ty‖≤L‖x-y‖,∀x,y ∈C.

若映射T∶C→C 满足条件

‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖,∀x ∈C,y ∈F(T),

则称T 为半非扩张映射.显然,若T 为非扩张的映射,则T 为半非扩张的映射,但逆命题并不成立.

设E 为一实Banach 空间,若E 中存在序列{xn}弱收敛到x,使得J(xn)依范数弱收敛到J(x),则称E 具有弱连续对偶映射.

设E 为一实Banach 空间,Tn∶C→C 为一族非扩张映射,{xn}弱收敛到x,且xn＋1-Tnxn→0 时,x ∈(F),称{xn}满足条件(A).

设C 为Banach 空间E 的非空闭凸子集,T∶C→C,若‖x-Tx‖≤‖x -y‖,有‖Tx -Ty‖≤‖x -y‖,∀x,y ∈C,称T 满足条件(C).可见若T满足条件(C),则T是非扩张的.设C ⊆E 为有界凸的,Q∶E→C 为一映射.若Q(tx＋(1 -t)Q(x))=Q(x),称Q 是单面的.若Q∶E→E,且Q2=Q,则称Q 是一个收缩.如果Q 是一个收缩,则有Q(z)=z,∀z ∈R(Q),其中R(Q)是Q 的值域.