不动点定理及相关概念简介

2023-10-20 理论教育版权反馈

【摘要】：,fk是关于变元x1,x2,…,xn的一组n 元多项式.方程组f1=f2=…=fk=0 无公共零点的充要条件是:存在另一组n 元多项式a1,a2,…,ak,使得a1f1＋a2f2＋…

不动点定理,以Banach 压缩映象定理为最著名.在1922年,Banach 给出的Banach 压缩映象定理,建立了积分方程解的存在性问题.自从那时,由于它的简洁性和实用性,它在解决数学分析的许多分支存在性问题上变成了非常有用的工具.

(1)布劳威尔不动点定理(1910)

设X 是欧氏空间中的紧凸集,那么X 到自身的每个连续映射都至少有一个不动点.

用这定理可以证明代数基本定理:复系数的代数方程一定有复数解.把布劳威尔定理中的欧氏空间换成巴拿赫空间,就是绍德尔不动点定理(1930),常用于偏微分方程理论.这些定理可以从单值映射推广到集值映射,除微分方程理论外还常用于对策论和数理经济学.

(2)巴拿赫压缩映射原理(1922)

设X 是一个完备的度量空间,映射f∶X→X 把每两点的距离至少压缩λ 倍,即d(f(x),f(y))≤λd(x,y),这里λ 是一个小于1 的常数,那么f 必有而且只有一个不动点,而且从X 的任何点x0出发作出序列不动点理论这序列一定收敛到那个不动点.

这一原理不仅可以判定不动点的存在性和唯一性,而且还能构造一个迭代序列逼近不动点.从此,构造各种迭代格式来研究不动点的收敛性问题纷至沓来,非扩张映象作为Banach 映象的一种自然推广,越来越被人们重视.同时由于分析学的需要,这定理已被推广到概率度量空间、映射族、集值映射等许多方面.

(3)不动点指数

不动点的个数有两种数法.代数上通常说n 次复多项式有n 个复根,是把一个k 重根算作k 个根的;如果不把重数统计在内,根的个数就可以小于n.推广根的重数概念,可以定义不动点的指数,它是一个整数,可正可负可零,取决于映射在不动点附近的局部几何性质.一个映射的所有不动点的指数的总和,称为这映射的不动点代数个数,以别于不动点的实际个数.

(4)莱夫谢茨不动点定理

设X 是紧多面体,f∶X→X 是映射,那么f 的不动点代数个数等于f 的莱夫谢茨数L(f),它是一个容易计算的同伦不变量,可以利用同调群以简单的公式写出.当L(f)≠0 时,与f 同伦的每个映射都至少有一个不动点.

这个定理既发展了布劳威尔定理,也发展了关于向量场奇点指数和等于流形的欧拉数的庞加莱-霍普夫定理,把它进一步推广到泛函空间而得的勒雷-绍德尔参数延拓原理,早已成为偏微分方程理论标准的工具.1927年J.尼尔斯发现,一个映射f 的全体不动点可以自然地分成若干个不动点类,每类中诸不动点的指数和都是同伦不变量.指数和不为0 的不动点类的个数,称为这映射的尼尔斯数N(f).只要X 是维数大于2 的流形,N(f)恰是与f 同伦的映射的最少不动点数.这就提供了研究方程的解的实际个数(而不只是代数个数)的一种方法.(www.chuimin.cn)

莱夫谢茨定理的一个重要发展是关于微分流形上椭圆型算子与椭圆型复形的阿蒂亚-辛格指标定理与阿蒂亚-博特不动点定理.

(5)不动点的计算

上述各种不动点定理,除压缩映射原理外,都未给出不动点的具体求法.由于应用上的需要,不动点算法的研究正在迅速发展,以求把拓扑的思路落实为快速、实用的计算方法.

在不动点的确定中,Banach 最早给出了用如下迭代序列逼近不动点.

定理B(不动点定理):设(X,d)是完备度量空间,T∶X→X 是压缩映象.则T 在X 中有唯一不动点,且对于每个x0∈X,由下列定义的迭代序列

xn＋1=Txn,n ≥0.

强收敛于T 的不动点.

下面简单介绍几个零点定理.

零点定理　如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)< 0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0,这个c 也就是方程f(x)=0 的根.

希尔伯特零点定理初等形式　设f1,f2,…,fk是关于变元x1,x2,…,xn的一组n 元多项式.方程组f1=f2=…=fk=0 无公共零点的充要条件是:存在另一组n 元多项式a1,a2,…,ak,使得a1f1＋a2f2＋…＋akfk=1 成立.