不动点与零点迭代逼近应用

2023-10-20 理论教育版权反馈

【摘要】：布劳威尔不动点定理是代数拓扑的早期成就,还是更一般的不动点定理的基础,在泛函分析中尤其重要.1904年,首先由Piers Bohl 证明n=3 的情况(发表于《纯粹及应用数学期刊》之内).1909年,鲁伊兹·布劳威尔(L．E．Brouwer)再次证明.1910年,雅克·阿达马提供一般情况的证明,而布劳威尔在1912年提出另一个不同的证明.这些早期的证明皆属于非构造性的间接证明,与数学直觉主义理想

布劳威尔不动点定理是代数拓扑的早期成就,还是更一般的不动点定理的基础,在泛函分析中尤其重要.1904年,首先由Piers Bohl 证明n=3 的情况(发表于《纯粹及应用数学期刊》之内).1909年,鲁伊兹·布劳威尔(L．E．Brouwer)再次证明.1910年,雅克·阿达马提供一般情况的证明,而布劳威尔在1912年提出另一个不同的证明.这些早期的证明皆属于非构造性的间接证明,与数学直觉主义理想矛盾.

现在已知如何构造(接近)由布劳威尔不动点定理所保证的不动点,见例子(Karamadian 1977)和(Istratescu 1981)．

算子不动点理论是正在迅速发展的非线性泛函分析理论的重要组成部分.它与近代数学的许多分支有着紧密的联系.不动点定理是关于具体问题解的存在性、唯一性定理.其中,Banach 不动点定理,亦称压缩映照原理.根据这个原理,不仅可以判断不动点的存在性和唯一性,还可以构造迭代序列逼近不动点到任何的精确程度.它提供了线性方程组解的最佳逼近程序,给出了近似解的构造,在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用,在现代数学发展中有着重要的地位和作用.

另一方面,不动点理论作为现代管理学与经济学理论研究的重要工具,在均衡理论中得以广泛应用,对经济管理领域中均衡问题的研究作出了巨大的贡献.1983年度诺贝尔经济学奖获得者Debreu 教授论一般经济均衡的存在性,1994年度诺贝尔经济学奖获得者Nash 教授论证博弈论纳什均衡的存在性,靠的都是不动点定理.因此,用不动点的方法研究经济中的决策问题是具有重要的理论意义和较高的应用价值的.在这些相关领域中,关于构造不动点迭代序列的收敛问题以及在控制、非线性算子和微分方程等方面的理论结合及应用成为研究的主流问题,对这方面问题的研究和解决会在实际运用中起到至关重要的作用.不动点理论及应用受到国内外众多学者的关注和研究,每年都有大量的研究论文发表,丰富和发展着不动点理论(见参考文献[1]—[20]).不动点理论研究主要在两大方面:一是算子不动点的存在性、唯一性及解集的性态研究;二是算子不动点的逼近理论研究.而在这些研究中,对不动点的迭代逼近问题,其迭代算法设计、算法的收敛性以及它们在集值变分包含问题中的应用均是涉及较少的.迭代算法的构造及收敛性条件、算法中控制序列是否易于选取,算法是否具某种稳定性,算法的收敛速率等研究都是还不太成熟的.相对而言,国内从事不动点理论研究的人员较少,对不动点定理进行理论和迭代收敛性方面的研究很少涉及不动点迭代格式的研究以及非线性算子的不动点定理在算法最优化方面(收敛速度、运算复杂度)的应用研究.

19 世纪末的数学家切比雪夫提出并讨论了有理函数的一致逼近问题,开辟了非线性逼近问题的先河.但是他处理问题的方式仍然偏向于多项式逼近.20 世纪60年代,非线性逼近问题在本质上取得了重大突破,此后便以迅猛的势头发展.为了在不同的空间结构下解决各种类型和不同性质的算子的不动点逼近问题,相应地产生了众多的逼近算法,如典型的Halpern迭代算法、Mann 类迭代算法、Ishikawa 类迭代法和Noor 类迭代算法、CQ 类算法、带误差项的算法、隐式形法的算法、带粘滞逼近的算法等,大家利用这些算法去逼近非线性算子的不动点,克服了简单迭代算法的某些缺陷,且去掉了加在非线性算子上的一些过强的限制,因此具有较大的优越性．近年来,许多作者在用Mann 和Ishikawa 迭代法去逼近非线性算子的不动点方面取得了大量的成果．

此外,人们还研究了非线性算子方程解的Mann 和Ishikawa 迭代序列的收敛性问题．由于计算的不精确性会带来误差,因此研究具有误差的Mann 和Ishikawa 迭代法的收敛问题是很有必要的．在很多文献中,作者都讨论了Mann 和Ishikawa 迭代序列．可见国内外作者对Mann 和Ishikawa 迭代序列的研究还在进行,并对此类问题表现出很大的兴趣．

对算子不动点的逼近问题的研究,密切相关于空间的几何结构与性质,如要求空间的凸性、光滑性、满足Opial 条件、具有Frechet 或Gateaux 可微范数等,密切相关于算子的定义域、值域和其他性质,如要求算子的定义域或值域为紧凸集、有界闭凸集或闭凸集;算法产生的迭代序列有界;算子是次闭的等．

为了解决不动点的逼近问题,1953年Mann 引入了如下的后来被称为Mann 迭代算法的序列:

xn＋1=(1-αn)xn＋αnTxn,n=1,2,…

1967年,Halpern 引入了下列的Halpern 迭代算法:

xn＋1=(1-αn)x0＋αnTxn,n ≥0.

在Hilbert 空间中研究了非扩张映射的不动点的迭代逼近问题.

1974年,Ishikawa 引入了下列的Ishikawa 迭代算法:

该算法成功解决了Hilbert 空间中紧凸集上的Lipschitz 伪压缩自映射的不动点的逼近问题．2001年,Chidume 等人给出了一个Lipschitz 伪压缩的自映射的例子．该例子证明了任一Mann 迭代算法对该映射都不收敛,而由Ishikawa 的结果知,上面的迭代算法收敛．这也说明了Ishikawa 迭代算法的研究价值.

1995年,Liu 引入了带误差项的Mann 迭代算法

xn＋1=(1-αn)xn＋αnTxn＋un,n ≥0,

和Ishikawa 迭代算法

1998年,Xu 在Ishikawa 迭代算法中采取了与误差项的凸组合形式构造新的算法:

该算法产生的迭代序列收敛于压缩映射T 的唯一不动点.

2002年,Noor 在讨论增生方程时,引入了下面被称为Noor 迭代算法的序列(三步迭代算法)

近年来,已有一些文献利用修改的Noor 迭代算法,研究渐进非扩张映射的不动点的逼近问题.除此以外,目前已有很多文献用黏滞逼近方法和思想,改造已有的迭代算法.比如2000年,Moudafi 引入了带黏滞逼近方法改进已有的Mann 迭代法

xn＋1=αnf(xn)＋(1-αn)Txn,n ∈N.(www.chuimin.cn)

其中f 为一压缩映射,并用该方法在Hilbert 空间中研究伪非扩张映射的不动点的逼近问题和变分不等式解的逼近问题.2004年,Nakajo 和Takahashi等人为解决Hilbert 空间中非空闭凸子集上的非扩张映射而引入的后来人们称为的CQ 算法

其中　PC——从希尔伯特空间H 到其闭凸子集C 的测度投影.

另外,也有一些作者采用隐式形式迭代算法来研究不动点的逼近问题.不过,相对而言,显式形式算法更易于编程实现.

上面涉及的主要是非线性全连续算子方程,通常采用拓扑度理论来研究它们的解,但是应用上出现的有些非线性算子不是全连续的,而是所谓单调算子(映像)或增生算子.这时通常采用单调映像的理论来研究这类方程的解.在这些优秀的成果中,人们利用迭代算法获得单调算子或增生算子的零点.如果f 是一个光滑凸函数,则求解方程f(x)=0 有这样一些比较经典的方法:

①Newton 法

②最速下降法

xn＋1=xn＋knf(xn),k ≥0,

其中　kn是如下函数的最小值点

φn(kn)=f(xn-kn▽f(xn)).

③对偶梯度法

xn＋1=xn-αnd(n),d(k＋1)=-g(k＋1)＋βnd(n)

其中　g(0)=▽f(x0).如果g(0)=0,则停止;否则,d(0)=-g(0).

④梯度投影算法

xn＋1=PC(xn-γn▽f(xn)),

其中　γn——严格正实数列.

通过对以上问题的拓展,人们对单调算子零点以及变分不等式的解进行了探索,获得了一系列成功的算法.假设A 是一个单调算子,Goldstein-Levitin-Polyak 投影法

xn＋1=PC(xn-αAxn)

以及外梯度算法

都是逼近单调算子零点的优秀算法,其中γn是严格正实数列.

由于这些迭代算法可以有效地用于逼近非线性算子的不动点以及变分不等式和平衡问题的解,因此在物理、最优化和经济等大量问题上都有着广泛的应用,从而引起了广大数学工作者的广泛关注.以上举例只是说明一些典型的、重要的算法和算法设计方法.近年来的很多文献用于讨论各种不同问题所产生的众多有效的逼近方法均是由上述提到的或未提到的算法的不同组合.

不动点与零点迭代逼近应用

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