设X 和Y 是两个线性赋范空间,其范数为‖·‖X 和‖·‖Y.令V,W分别是X,Y 的子集,F:V→W 是一映射.(ⅰ)直接问题是指由x∈V 来确定y=F(x),(即,由起因得出结论);(ⅱ)反问题是对任意的y∈W 通过y=F(x)来决定x∈V,(即,由结论推出起因);(ⅲ)映射F 被称为直接映射.关于反问题(也称逆问题)的研究,早期的工作可追溯到20 世纪20年代美国的Hadamard 教授在研......
2023-10-20
不动点问题简介-不动点与零点的迭代逼近及应用
【摘要】：数学里到处要解方程,诸如代数方程、函数方程、微分方程等,种类繁多,形式各异.但是它们常能改写成f(x)=x 的形状,这里x 是某个适当的空间X 中的点,f 是从X 到X 的一个映射或运动.把每一点x 移到点f(x),方程f(x)=x 的解恰好就是在f 这个运动之下被留在原地不动的点,故称不动点.即这个函数映射到其自身一个点.于是,解方程的问题就转化成了找不动点这个几何问题.不动点问题实际上就是各种
数学里到处要解方程,诸如代数方程、函数方程、微分方程等,种类繁多,形式各异.但是它们常能改写成f(x)=x 的形状,这里x 是某个适当的空间X 中的点,f 是从X 到X 的一个映射或运动.把每一点x 移到点f(x),方程f(x)=x 的解恰好就是在f 这个运动之下被留在原地不动的点,故称不动点.即这个函数映射到其自身一个点.于是,解方程的问题就转化成了找不动点这个几何问题.不动点问题实际上就是各种各样的方程(如代数方程、微分方程、积分方程等)的求解问题,在数学上非常重要,也有很多的实际应用.不动点理论研究不动点的有无、个数、性质与求法.研究方法主要是拓扑的和泛函分析的(见非线性算子).
如果f 是从n＋1 维实心球Bn＋1={x ∈Rn＋1,|x|≤1}到自身的连续映射(n=1,2,3,…),则f 存在一个不动点x0∈Bn＋1即满足f(x0)=x0.此定理是L．E．J．布劳威尔在1911年证明的,建立布劳威尔不动点是他的突出贡献.
这个定理表明:在二维球面上,任意映到自身的一一连续映射,必定至少有一个点是不变的.他把这一定理推广到高维球面.尤其是在n 维球内映到自身的任意连续映射至少有一个不动点.在定理证明的过程中,他引进了从一个复形到另一个复形的映射类,以及一个映射的映射度等概念.有了这些概念,他就能处理一个流形上的向量场的奇点.
康托尔揭示了不同的n 与空间Rn 的一一对应关系.G.皮亚诺(Peano)则实现了把单位线段连续映入正方形,这两个发现启示了在拓扑映射中维数可能是不变的.1910年,布劳威尔对于任意的n 证明了这个猜想—维数的拓扑不变性.在证明过程中,布劳威尔创造了连续拓扑映射的单纯逼近的概念,也就是一系列线性映射的逼近.他还创造了映射的拓扑度的概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数.实践证明,这些概念在解决重要的不变性问题时非常有用.例如,布劳威尔就借助它界定了n维区域;J．W．亚历山大(Alexander)则用它证明了贝蒂数的不变性.这些都是不动点定理的一种延伸.(www.chuimin.cn)
不动点理论已经成为非线性分析的重要组成部分,该问题的研究已经在偏微分方程、控制论、经济平衡理论及对策理论等领域获得了极为成功的应用.
这个定理可以通过一个经典例子也是一个很实际的例子来理解.比如:取两张一样大小的白纸,在上面画好垂直的坐标系以及纵横的方格.将一张纸平铺在桌面,而另外一张随意揉成一个形状(但不能撕裂),放在第一张白纸之上,不超出第一张的边界.那么第二张纸上一定有一点正好就在第一张纸的对应点的正上方.一个更简单的说法是:将一张白纸平铺在桌面上,再将它揉成一团(不撕裂),放在原来白纸所在的地方,只要它不超出原来白纸平铺时的边界,白纸上一定有一点在水平方向上没有移动过.这个断言的根据就是布劳威尔不动点定理在二维欧几里得空间(欧几里得平面)的情况,因为把纸揉皱是一个连续的变换过程.另一个例子是大商场等地方可以看到的平面地图,上面标有“您在此处”的红点.如果标注足够精确,这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点.不妨再来看一个三维空间中的情况:如果我们用一个密封的锅子煮水,总有一个水分子在煮开前的某一刻和煮开后的某一刻处于同样的位置.另外地球绕着它的自转轴自转,自转轴在自转过程中不变,也就是自转运动的不动点.
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2023-10-20
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分裂可行问题Split Feasibility Problem(SEP)是由Censor 和Elfving 在1994 首先提出的,该问题描述如下:寻找一个点x使得其中C 和Q 分别是Hilbert 空间H1和H2的非空闭凸子集,A 是由H1到H2的有界线性算子.在过去20年,许多学者都对分裂可行问题的数值逼近进行了研究提出了若干算法,比如Byrne 展示了他们的CQ 算法,杨庆之介绍了松弛CQ算......
2023-10-20
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变分不等式是非线性互补问题的推广,它的提出统一了优化问题和均衡问题的研究,并且在数学领域内作为大量数学问题实际求解的统一框架.变分不等式广泛应用于工程优化,经济学和交通运输的平衡问题,对数学各个领域、计算机科学等方面都产生了巨大的影响.经典变分问题的推广和发展,将经典变分问题的约束条件放松为某些单边约束(即用不等式代替等式)的变分方法.它是研究偏微分方程、最佳控制和其他领域的一个十分有用的工具,也......
2023-10-20
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,cn)是依赖于参数c0,c1,…,cn的初等函数.用P(x,c0,c1,…,cn)来近似表示f,要求选择一组参数使误差最小.这就是寻求极小问题的解.当参数给出最小误差时,就把叫作f在P(x,c0,c1,…,cn)所构成的函数类中的一个最佳逼近元;数值P叫作f借助于函数P(x,c0,c1,…......
2023-10-20
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布劳威尔不动点定理是代数拓扑的早期成就,还是更一般的不动点定理的基础,在泛函分析中尤其重要.1904年,首先由Piers Bohl 证明n=3 的情况(发表于《纯粹及应用数学期刊》 之内).1909年,鲁伊兹·布劳威尔(L．E．Brouwer)再次证明.1910年,雅克·阿达马提供一般情况的证明,而布劳威尔在1912年提出另一个不同的证明.这些早期的证明皆属于非构造性的间接证明,与数学直觉主义理想......
2023-10-20
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非扩张型映象的分类-不动点与零点的迭代逼近及详细阅读
设(X,d)是一完备的度量空间,T 是X 的自映像.T 称为非扩张映象(以后称为第(1)类非扩张型映象),如果d(Tx,Ty)≤d(x,y)x,y ∈X.非扩张映象是Banach 压缩映象的一种自然的推广,这种映象在近代许多数学分支,其中特别是在非线性半群、遍历理论和单调算子理论有许多重要的应用.一般说来,非扩张映象不一定存在不动点,所以下面将介绍非扩张映象不动点的存在性.先介绍非扩张型映象的分类......
2023-10-20
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E 为一实Banach 空间,E为E 的对偶空间,〈·,·〉表示广义对偶对,称J∶E→2E为正规对偶映像,如果Jx={f ∈E∶〈x,f 〉=‖x‖2=‖f ‖2},x ∈E.今后均用j 表示单值赋范对偶映射.若E 中存在序列{xn}弱收敛到x,使得J(xn)依范数弱收敛到J(x),则称E 具有弱连续对偶映射.若S={x ∈E∶‖x‖=1}为E 的单位球面,对任意的x,y ∈一致存在,则称E 的范......
2023-10-20
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