不动点问题简介-不动点与零点的迭代逼近及应用

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：数学里到处要解方程,诸如代数方程、函数方程、微分方程等,种类繁多,形式各异.但是它们常能改写成f(x)=x 的形状,这里x 是某个适当的空间X 中的点,f 是从X 到X 的一个映射或运动.把每一点x 移到点f(x),方程f(x)=x 的解恰好就是在f 这个运动之下被留在原地不动的点,故称不动点.即这个函数映射到其自身一个点.于是,解方程的问题就转化成了找不动点这个几何问题.不动点问题实际上就是各种

数学里到处要解方程,诸如代数方程、函数方程、微分方程等,种类繁多,形式各异.但是它们常能改写成f(x)=x 的形状,这里x 是某个适当的空间X 中的点,f 是从X 到X 的一个映射或运动.把每一点x 移到点f(x),方程f(x)=x 的解恰好就是在f 这个运动之下被留在原地不动的点,故称不动点.即这个函数映射到其自身一个点.于是,解方程的问题就转化成了找不动点这个几何问题.不动点问题实际上就是各种各样的方程(如代数方程、微分方程、积分方程等)的求解问题,在数学上非常重要,也有很多的实际应用.不动点理论研究不动点的有无、个数、性质与求法.研究方法主要是拓扑的和泛函分析的(见非线性算子).

如果f 是从n＋1 维实心球Bn＋1={x ∈Rn＋1,|x|≤1}到自身的连续映射(n=1,2,3,…),则f 存在一个不动点x0∈Bn＋1即满足f(x0)=x0.此定理是L．E．J．布劳威尔在2025年证明的,建立布劳威尔不动点是他的突出贡献.

这个定理表明:在二维球面上,任意映到自身的一一连续映射,必定至少有一个点是不变的.他把这一定理推广到高维球面.尤其是在n 维球内映到自身的任意连续映射至少有一个不动点.在定理证明的过程中,他引进了从一个复形到另一个复形的映射类,以及一个映射的映射度等概念.有了这些概念,他就能处理一个流形上的向量场的奇点.

康托尔揭示了不同的n 与空间Rn 的一一对应关系.G.皮亚诺(Peano)则实现了把单位线段连续映入正方形,这两个发现启示了在拓扑映射中维数可能是不变的.2025年,布劳威尔对于任意的n 证明了这个猜想—维数的拓扑不变性.在证明过程中,布劳威尔创造了连续拓扑映射的单纯逼近的概念,也就是一系列线性映射的逼近.他还创造了映射的拓扑度的概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数.实践证明,这些概念在解决重要的不变性问题时非常有用.例如,布劳威尔就借助它界定了n维区域;J．W．亚历山大(Alexander)则用它证明了贝蒂数的不变性.这些都是不动点定理的一种延伸.(https://www.chuimin.cn)

不动点理论已经成为非线性分析的重要组成部分,该问题的研究已经在偏微分方程、控制论、经济平衡理论及对策理论等领域获得了极为成功的应用.

这个定理可以通过一个经典例子也是一个很实际的例子来理解.比如:取两张一样大小的白纸,在上面画好垂直的坐标系以及纵横的方格.将一张纸平铺在桌面,而另外一张随意揉成一个形状(但不能撕裂),放在第一张白纸之上,不超出第一张的边界.那么第二张纸上一定有一点正好就在第一张纸的对应点的正上方.一个更简单的说法是:将一张白纸平铺在桌面上,再将它揉成一团(不撕裂),放在原来白纸所在的地方,只要它不超出原来白纸平铺时的边界,白纸上一定有一点在水平方向上没有移动过.这个断言的根据就是布劳威尔不动点定理在二维欧几里得空间(欧几里得平面)的情况,因为把纸揉皱是一个连续的变换过程.另一个例子是大商场等地方可以看到的平面地图,上面标有“您在此处”的红点.如果标注足够精确,这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点.不妨再来看一个三维空间中的情况:如果我们用一个密封的锅子煮水,总有一个水分子在煮开前的某一刻和煮开后的某一刻处于同样的位置.另外地球绕着它的自转轴自转,自转轴在自转过程中不变,也就是自转运动的不动点.

不动点问题简介-不动点与零点的迭代逼近及应用

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