如何借助于两步法去构造奇数n=2m+1（m为m≠3t+1t＝0，1，2，…的自然数）阶完美或对称完美的砍尾巴幻方？......
2023-10-20
幻中之幻-9阶二次兼对称幻方
【摘要】：这里共得到了9个9阶二次幻方.还能得到更多的9阶二次幻方吗？
若要构造一个9阶二次幻方，首先要解决的一个问题是，1～81如何平均分成9组，且使每组9个数的和相等，其平方和亦相等.
第一步，寻找构成基方阵A的3个3×9方阵.
⑴构成基方阵A的第一个3×9方阵A1.
图18-1是1个3×3的方阵，每行3个数字之和都等于15.
图18-1 3×3的方阵
图18-2是1个1×9的方阵，9个数字之和等于324.
图18-2 1×9的方阵
图18-3是1个由图18-1 3×3的方阵衍生的3×9方阵，每行9个数字之和都等于45.
图18-3 衍生的3×9方阵
图18-4是1个3×9方阵，由图18-3各列的3个数都加上图18-2同列的数所得.
图18-4 构成基方阵A的3×9方阵A1
图18-4每行9个数字之和都等于369，其平方和都等于20049.
⑵构成基方阵A的第二个3×9方阵A2.
图18-1 3×3方阵各行向右顺移一个位置得1个新的3×3的方阵，如图18-5所示.
图18-5 右移所得3×3方阵
图18-6是1个由图18-5 3×3的方阵衍生的3×9方阵，每行9个数字之和都等于45.
图18-6 衍生的3×9方阵
图18-7是1个3×9方阵，由图18-6各列的3个数都加上图18-2同列的数所得.
图18-7 构成基方阵A的3×9方阵A2
图18-7每行9个数字之和都等于369，其平方和都等于20049.
⑶构成基方阵A的第三个3×9方阵A3.
图18-5 3×3方阵各行向右顺移一个位置又得1个新的3×3的方阵，如图18-8所示.
图18-8 再次右移所得3×3方阵
图18-9是1个由图18-8 3×3的方阵衍生的3×9方阵，每行9个数字之和都等于45.
图18-9 衍生的3×9方阵
图18-10是1个3×9方阵，由图18-9各列的3个数都加上图18-2同列的数所得.
图18-10 构成基方阵A的3×9方阵A3
图18-10每行9个数字之和都等于369，其平方和都等于20049.
第二步，构造基方阵A.
图18-4方阵A1，图18-7方阵A2和图18-10方阵A3从上到下依次排在一起组成1个9×9方阵，称为基方阵A，如图18-11所示.
图18-11 基方阵A
基方阵A每行9个数字之和都等于369，其平方和都等于20049.
第三步，分段的列变换.
基方阵A上方3×9方阵A1，下方3×9方阵A3做列交换得方阵B，列变换的方式由方阵B中浅灰格显示，如图18-12所示.
图18-12 方阵B
第四步，方阵B各行顺移得方阵C，顺移的方式由方阵C中浅灰格显示，如图18-13所示.
图18-13 方阵C
方阵C是一个9阶二次幻方，其本身是一个对称幻方，幻方常数为369，各个数字平方后所得幻方的幻方常数为20049.为了让读者有一个清晰的印象，各个数字平方后所形成的幻方如图18-14所示.
图18-14 二次幻方C各个数字平方后所形成的幻方
用类似的方法可以得到多少个不同的9阶二次幻方？(www.chuimin.cn)
由9阶二次幻方C，通过把上方三行整体平移至底部，就产生另一个9阶二次幻方D，如图18-15所示.
图18-15 9阶二次幻方D
9阶二次幻方D各个数字平方后所形成的幻方如图18-16所示.
图18-16 二次幻方D各个数字平方后所形成的幻方
由9阶二次幻方D，通过把上方三行整体平移至底部，就产生不同的又一个9阶二次幻方E，如图18-17所示.
图18-17 9阶二次幻方E
由9阶二次幻方C，通过把左方三列整体平移至右方，就产生不同的另一个9阶二次幻方F，如图18-18所示.
图18-18 9阶二次幻方F
由9阶二次幻方F，通过把左方三列整体平移至右方，就产生不同的又一个9阶二次幻方G，如图18-19所示.
图18-19 9阶二次幻方G
对9阶二次幻方D，9阶二次幻方E作类似于对9阶二次幻方C所作的右移可得另外4个不同的9阶二次幻方，你能写出并验证它们确是9阶二次幻方吗？这里共得到了9个9阶二次幻方.还能得到更多的9阶二次幻方吗？
能.若第一步时我们选取不同的3×3方阵则可得出另外9个9阶二次幻方，为免赘述起见我们只列出一个9阶二次幻方构造过程的图形而不再重复那些说明.
第一步，寻找构成基方阵A的3个3×9方阵.
⑴
图18-20 3×3的方阵
图18-21 1×9的方阵
图18-22 衍生的3×9方阵
图18-23 构成基方阵A的3×9方阵A1
⑵
图18-24 3×3的方阵
图18-25 衍生的3×9方阵
图18-26 构成基方阵A的3×9方阵A2
⑶
图18-27 3×3的方阵
图18-28 衍生的3×9方阵
图18-29 构成基方阵A的3×9方阵A3
第二步，
图18-30 基方阵A
第三步，
图18-31 方阵B
第四步，
图18-32 9阶二次幻方H
图18-33 二次幻方H各个数字平方后所形成的幻方
第一步时我们有6种不同的选取3×3方阵的方法，所以我们可得到6×9=54个不同的9阶二次幻方.你能造出一个与上述不同的9阶二次幻方并验证它们确是9阶二次幻方吗？更进一步地除了上述6种不同的选取3×3方阵的方法外还有其他的选取具有同样特性的3×3方阵的方法，这些3×3方阵用类似的方法能造出9阶二次幻方吗？试试看并记得加以验证.在这个过程中你一定会感受到正在攀登幻方领域高峰的快感与乐趣的.
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