，7）个截面.⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺图14-25以i轴为法线方向的7个截面表示的7阶空间完美幻立方图14-18至图14-24表示的数字立方阵C与图14-25是同一个空间完美幻立方.图14-25中各个截面的列就是数字立方阵C所表示的空间完美幻立方的纵列.上述三步法中第一步有（7！......
2023-10-20
12阶幻立方：构造更完美的空间
【摘要】：第一步，根据构造双偶数阶最完美幻方的三步法，构造一个由1～144的自然数组成的12阶最完美幻方A，各列的数是按事先选定的顺序安装的，得12阶最完美幻方A，如图16-1所示.图16-112阶最完美幻方A记12阶最完美幻方A位于第i行第j列的元素为a（i，j）其中i，j=1，2，…
第一步，根据构造双偶数阶最完美幻方的三步法，构造一个由1～144的自然数组成的12阶最完美幻方A，各列的数是按事先选定的顺序安装的，得12阶最完美幻方A，如图16-1所示.
图16-1 12阶最完美幻方A
记12阶最完美幻方A位于第i行第j列的元素为a（i，j）其中i，j=1，2，…，12
第二步，构造以k轴为法线方向的第k（k=1，2，…，12）个截面的基方阵Bk，Bk位于第i行，第j列的元素为b（k，i，j）.
⑴构造基方阵B1，首先要取定基方阵B1的基数.
取12阶最完美幻方A的第1行作为一个1×12的长方阵，如图16-2所示.
图16-2 1×12的长方阵
上述长方阵的数减1再乘以12然后加1称之为基数，得由基方阵B1的基数组成的长方阵，如图16-3所示.
图16-3 基数组成的长方阵
把图16-3中的基数作为基方阵B1的基数置于基方阵B1的灰色方格中，按构造12阶最完美幻方A时同样的顺序安装各列的数，得基方阵B1如图16-4所示.
图16-4 基方阵B1
⑵构造基方阵B2，首先要取定基方阵B2的基数.
取12阶最完美幻方A的第2行作为一个1×12的长方阵，如图16-5所示.
图16-5 1×12的长方阵
上述长方阵的数减1再乘以12然后加1称之为基数，得由基方阵B2的基数组成的长方阵，如图16-6所示.
图16-6 基数组成的长方阵
把图16-6中的基数作为基方阵B2的基数置于基方阵B2的灰色方格中，按构造12阶最完美幻方A时同样的顺序安装各列的数，得基方阵B2如图16-7所示.
图16-7 基方阵B2
⑶构造基方阵B3.
取定基方阵B3的基数的过程如图16-8所示.
图16-8 取定基方阵B3的基数的过程
基方阵B3如图16-9所示.
图16-9 基方阵B3
⑷构造基方阵B4.
取定基方阵B4的基数的过程如图16-10所示.
图16-10 取定基方阵B4的基数的过程
基方阵B4如图16-11所示.
图16-11 基方阵B4
⑸构造基方阵B5.
取定基方阵B5的基数的过程如图16-12所示.
图16-12 取定基方阵B5的基数的过程
基方阵B5如图16-13所示.
图16-13 基方阵B5
⑹构造基方阵B6.
取定基方阵B6的基数的过程如图16-14所示.
图16-14 取定基方阵B6的基数的过程
基方阵B6如图16-15所示.
图16-15 基方阵B6
⑺构造基方阵B7.
取定基方阵B7的基数的过程如图16-16所示.
图16-16 取定基方阵B7的基数的过程
基方阵B7如图16-17所示.
图16-17 基方阵B7
⑻构造基方阵B8.
取定基方阵B8的基数的过程如图16-18所示.
图16-18 取定基方阵B8的基数的过程
基方阵B8如图16-19所示.
图16-19 基方阵B8
⑼构造基方阵B9.
取定基方阵B9.的基数的过程如图16-20所示.
图16-20 取定基方阵B9的基数的过程
基方阵B9如图16-21所示.
图16-21 基方阵B9
⑽构造基方阵B10.
取定基方阵B10的基数的过程如图16-22所示.
图16-22 取定基方阵B10的基数的过程
基方阵B10如图16-23所示.
图16-23 基方阵B10
⑾构造基方阵B11.
取定基方阵B11的基数的过程如图16-24所示.
图16-24 取定基方阵B11的基数的过程
基方阵B11如图16-25所示.(www.chuimin.cn)
图16-25 基方阵B11
⑿构造基方阵B12.
取定基方阵B12的基数的过程如图16-26所示.
图16-26 取定基方阵B12的基数的过程
基方阵B12如图16-27所示.
图16-27 基方阵B12
第三步，对第k（k＝1，2，…，12）个截面的基方阵Bk做行变换，基方阵Bk上半部分不变，第7～12行依次作为新方阵的第12～7行，所得方阵记为Ck.行变换后所得方阵C1～C12依次如图16-28至图16-39所示.
⑴
图16-28 行变换后所得方阵C1
⑵
图16-29 行变换后所得方阵C2
⑶
图16-30 行变换后所得方阵C3
⑷
图16-31 行变换后所得方阵C4
⑸
图16-32 行变换后所得方阵C5
⑹
图16-33 行变换后所得方阵C6
⑺
图16-34 行变换后所得方阵C7
⑻
图16-35 行变换后所得方阵C8
⑼
图16-36 行变换后所得方阵C9
⑽
图16-37 行变换后所得方阵C10
⑾
图16-38 行变换后所得方阵C11
⑿
图16-39 行变换后所得方阵C12
第四步，第k（k＝1，2，…，12）个截面行变换后所得方阵Ck第i行的元素按余函数r（t）的规则右移r（3（i+k-2））（i＝1，2，…，12）个位置得截面方阵Dk，按k由小到大的顺序，此k个截面组成的数字立方阵D就是一个12阶空间更完美的幻立方.截面方阵D1～D12依次如图16-40至图16-51所示.
⑴
图16-40 截面方阵D1
⑵
图16-41 截面方阵D2
⑶
图16-42 截面方阵D3
⑷
图16-43 截面方阵D4
⑸
图16-44 截面方阵D5
⑹
图16-45 截面方阵D6
⑺
图16-46 截面方阵D7
⑻
图16-47 截面方阵D8
⑼
图16-48 截面方阵D9
⑽
图16-49 截面方阵D10
⑾
图16-50 截面方阵D11
⑿
图16-51 截面方阵D12
由上述k（k＝1，2，…，12）个截面Dk组成的是一个12阶空间更完美的幻立方，由1～1728的自然数所组成，其122个行，122个列，122个纵列以及四条空间对角线及与其同方向的空间泛对角线上的12个数字之和都等于
即幻立方常数.四条空间对角线及与其同方向的空间泛对角线上相隔6个位置上的两个数其和都等于123+1=1729.读者可随机抽验一下，很有意思的.
因为由构造最完美幻方的三步法实际上可构造出26（6·5·4·3·2·1）（26-1）·6=17418240个不同的12阶最完美幻方.而从一个12阶最完美幻方出发可构造出一个12阶空间更完美的幻立方，所以用上述方法可构造出17418240个不同的12阶空间更完美的幻立方.
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