从1～9的自然数中任意选定5个数，比如1，3，6，5，8，它们的和是23.任意选定另外5个数，使它们的和亦是23，比如9，2，7，1，4.1，3，6，5，8，各取5次，仿照构造完美幻方的两步法[1]，得到一个不连续数的五阶完美幻方，其幻方常数为是23.其基方阵如图2-12所示，所得不连续数的5阶完美幻方，如图2-13所示.图2-125阶基方阵图2-13不连续数的5阶完美幻方9，2，7，1，4.......
2023-10-20
21阶对称完美幻方的构造方法：幻中之幻
【摘要】：，21），以c（i，j）记方阵C位于第i行第j列的元素（其中i，j=1，2，…，21）.取c（i，j）=·21（其中i，j=1，2，…
第一步，把1～21的自然数排成三行7列，使每行7个数字之和都等于77，3×7长方阵如图10-6所示.
图10-6 3×7长方阵
把各行的7个数字随意排序，比如第一行的7个数字从左到右按4，3，10，20，16，15，9排列，称为基本行1；第二行的7个数字从左到右按5，1，11，21，17，14，8排列，称为基本行2；第三行的7个数字从左到右按6，2，12，19，18，13，7排列，称为基本行3.若排成一个3×7长方阵如图10-7所示.
图10-7 由基本行组成的3×7长方阵
第二步，构造21阶对称的基方阵A.
从左到右依次取基本行1：4，3，10，20，16，15，9共三次作为基方阵A的第一行，第一行的元素向左顺移两个位置得第二行，第二行的元素向左顺移两个位置得第三行，依此类推直至得出第7行.
从左到右依次取基本行2：5，1，11，21，17，14，8共三次作为基方阵A的第8行，第8行的元素向左顺移两个位置得第9行，第9行的元素向左顺移两个位置得第10行，依此类推直至得出第14行.
从左到右依次取基本行3：6，2，12，19，18，13，7共三次作为基方阵A的第15行，第15行的元素向左顺移两个位置得第16行，第16行的元素向左顺移两个位置得第17行，依此类推直至得出第21行.
21阶对称的基方阵A如图10-8所示.
图10-8 对称的基方阵A
第三步，做对称的基方阵A的转置方阵B.对称的转置方阵B如图10-9所示.
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图10-9 对称的转置方阵B
第四步，做对称的方阵C.
以b（i，j）记转置方阵B位于第i行第j列的元素（其中i，j=1，2，…，21），
以c（i，j）记方阵C位于第i行第j列的元素（其中i，j=1，2，…，21）.
取c（i，j）=（b（i，j）－1）·21（其中i，j=1，2，…，21）.
对称的方阵C如图10-10所示.
图10-10 对称的方阵C
第五步，对称的基方阵A与对称的方阵C对应元素相加所得的对称方阵D，就是一个21阶对称完美幻方如图10-11所示.
图10-11 21阶对称完美幻方
图10-11是一个由1～441的自然数组成的21阶对称完美幻方，其幻方常数为4641.每行每列上21个数字之和都等于4641，对角线或泛对角线上21个数字之和亦都等于4641.中心对称位置上两个数字之和都等于442.
有兴趣的读者可把图10-7由基本行组成的3×7长方阵各行都向右顺移一个位置得一个新的3×7数字长方阵，观察其有什么特点，你将会从中领会到如何选定基本行才可使基方阵A成为一个对称方阵，进而通过五步法得到一个属于你自己的21阶正规的对称完美幻方.
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2023-10-20
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