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构造完美幻方的六步法-幻中之幻

【摘要】:第一步,把1~27按如下方式分为9个基本组,每组3个数,其和均为42.具体如下1,14,27;2,16,24;3,17,22;4,12,26;5,18,19;6,11,25;7,15,20;8,13,21;9,10,23.当n=3k(k=3,4,…,3k).第六步,基方阵A与方阵C对应元素相加所得方阵D,就是一个由1~2的自然数所组成的n=3k(k=3,4,…为自然数)阶正规的完美幻方.

第一步,把1~27按如下方式分为9个基本组,每组3个数,其和均为42.

具体如下

1,14,27;2,16,24;3,17,22;

4,12,26;5,18,19;6,11,25;

7,15,20;8,13,21;9,10,23.

当n=3k(k=3,4,…为自然数)时,把9个基本组的各个数分别加以(t-1)·27其中t=1,2,…,3k-3(k=3,4,…为自然数)得共3k-3个大组,每个大组有9个小组,每个小组3个数.第t个大组,其每个小组3个数和均为42+3(t-1)·27.

第二步,构造基本行1,基本行2和基本行3.

从每一个大组任取一个小组,3k-3个大组共取出3k-3个小组3k-2个数,随意置于基本行1从左到右的第1+3(j-1)(j=1,2,…,3k-2为自然数)个位置.

从每一个大组剩下的小组中任取一个小组,3k-3个大组共取出3k-3个小组3k-2个数,随意置于基本行1从左到右的第2+3(j-1)(j=1,2,…,3k-2为自然数)个位置.

从每一个大组剩下的小组中任取一个小组,3k-3个大组共取出3k-3个小组3k-2个数,随意置于基本行1从左到右的第3+3(j-1)=3j(j=1,2,…,3k-2为自然数)个位置.至此得基本行1.

这样继续下去,以同样的方式得到基本行2和基本行3.

第三步,构造n=3k(k=3,4,…为自然数)阶基方阵A.(www.chuimin.cn)

从左到右取基本行1三次作为基方阵A的第一行,第一行的元素向左顺移3个位置得第二行,第二行的元素向左顺移3个位置得第三行,依此类推直至得出第3k-1行.

从左到右取基本行2三次作为基方阵A的第3k-1+1行,第3k-1+1行的元素向左顺移3个位置得第3k-1+2行,第3k-1+2行的元素向左顺移3个位置得第3k-1+3行,依此类推直至得出第2·3k-1行.

从左到右取基本行3三次作为基方阵A的第2·3k-1+1行,第2·3k-1+1行的元素向左顺移3个位置得第2·3k-1+2行,第2·3k-1+2行的元素向左顺移3个位置得第2·3k-1+3行,依此类推直至得出第3k行.

第四步,作基方阵A的转置方阵B.

第五步,作方阵C.

以b(i,j)记转置方阵B位于第i行第j列的元素(其中i,j=1,2,…,3k),

以c(i,j)记方阵C位于第i行第j列的元素(其中i,j=1,2,…,3k).

取c(i,j)=(b(i,j)-1)·3k(其中i,j=1,2,…,3k).

第六步,基方阵A与方阵C对应元素相加所得方阵D,就是一个由1~(3k2的自然数所组成的n=3k(k=3,4,…为自然数)阶完美幻方.

由于六步法第一步中把1~(3k2的自然数分为3k-3大组,每个大组有9个小组,每个小组3个数.第二步,构造基本行1,基本行2和基本行3时从每一个大组任取一个小组,每个大组有9个小组,所以共有种选法,故六步法可得到个不同的n=3k(k=3,4,…为自然数)阶正规的完美幻方.