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33阶完美幻方构造指南

2023-10-20 理论教育版权反馈

【摘要】：，27），以c（i，j）记方阵C位于第i行第j列的元素（其中i，j=1，2，…，27）.取c（i，j）=·27（其中i，j=1，2，…

第一步，把1～27按如下方式分为9个基本组，每组3个数，其和均为42.

具体如下：

1,14,27;2,16,24;3,17,22;

4,12,26;5,18,19;6,11,25;

7,15,20;8,13,21;9,10,23.

第二步，构造基本行1，基本行2和基本行3.

从9个基本组中任取三个小组，比如，4，12，26；8，13，21；3，17，22.4，12，26随意置于基本行1从左到右的第第1+3（j-1）（j=1，2，3）个位置；8，13，21随意置于基本行1从左到右的第2+3（j-1）（j=1，2，3）个位置；3，17，22随意置于基本行1从左到右的第3+3（j-1）=3j（j=1，2，3）个位置，至此得基本行1如图9-1所示.

图9-1　基本行1

从剩下的6个基本组中任取三个小组，比如，5，18，19；1，14，27；9，10，23.按构造基本行1的规则构造基本行2，得基本行2如图9-2所示.

图9-2　基本行2

由剩下的3个基本组6，11，25；7，15，20；2，16，24.按同样的规则得基本行3如图9-3所示.

图9-3　基本行3

第三步，构造n=33=27阶基方阵A.

从左到右取基本行1三次作为基方阵A的第一行，第一行的元素向左顺移3个位置得第二行，第二行的元素向左顺移3个位置得第三行，依此类推直至得出第9行.

从左到右取基本行2三次作为基方阵A的第10行，第10行的元素向左顺移3个位置得第11行，第11行的元素向左顺移3个位置得第12行，依此类推直至得出第18行.

从左到右取基本行3三次作为基方阵A的第19行，第19行的元素向左顺移3个位置得第20行，第20行的元素向左顺移3个位置得第21行，依此类推直至得出第27行.

基方阵A如图9-4所示.(www.chuimin.cn)

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图9-4　基方阵A

第四步，作基方阵A的转置方阵B.如图9-5所示.

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图9-5　转置方阵B

第五步，作方阵C.

以b（i，j）记转置方阵B位于第i行第j列的元素（其中i，j=1，2，…，27），

以c（i，j）记方阵C位于第i行第j列的元素（其中i，j=1，2，…，27）.

取c（i，j）=（b（i，j）－1）·27（其中i，j=1，2，…，27）.

方阵C如图9-6所示.

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图9-6　方阵C

第六步，基方阵A与方阵C对应元素相加所得方阵D，就是一个n=33=27阶完美幻方，如图9-7所示.

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图9-7　27阶完美幻方

图9-7是一个由1～729的自然数组成的27阶完美幻方，其幻方常数为9855.每行每列上27个数字之和都等于9855，对角线或泛对角线上27个数字之和亦都等于9855.

由于构造基本行时，从9个基本组中每次取出三个小组的任意性，取出三个小组后构造基本行时亦存在任意性，用上述方法可构造出个不同的27阶完美幻方.

注意到各基本行每向右移3个位置仍可作为基本行，所以用上述方法实际上可构造出60480×33=1632960个不同的27阶完美幻方.你能构造出一个属于你自己的27阶完美幻方了吗？