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构造最完美的幻方:双偶数n=4m阶幻中之幻

2023-10-20 理论教育版权反馈

【摘要】：为自然数）阶最完美幻方.由于从1～9的自然数中可重复地任意选定其和相等的2m对数，作为尾数，每对尾数的和可从2～18中任意选择，比如选定其和为10，则尾数有92m种不同的选择，同理每对首位数如选定其和为10，则首位数亦有92m种不同的选择.即每一个双偶数n=4m（m=1，2，…为自然数）阶最完美的掐头去尾幻方，亦即利用构造双偶数n=4m（m=1，2，…）个不同的n=4m（m=1，2，…

第一步，用构造双偶数n=4m（m=1.2为自然数）阶最完美幻方的三步法构造一个由1～n2的自然数组成的双偶数n=4m（m=1.2为自然数）阶最完美幻方.如果该最完美幻方中最大的是k（k＝2，3，…为自然数）位数，其所有数都加10k－1（k＝2，3，…为自然数），得一个新的由10k－1+1～10k－1+n2的自然数组成的非正规的n阶最完美幻方B.

第二步，再仿照同一个三步法构造两个各由4m组相同的数组成的4m阶最完美幻方.

从1～9的自然数中可重复地任意选定其和相等的2m对数，2m对共4m个数，按同一对的两个数处于到两端同距离的位置的原则把这4m个数排序，各取4m次，仿照构造最完美幻方的三步法（由于在此种情况下第二步与第三步结果是完全相同的，所以实际上就是两步）构造一个由4m组相同的数组成的4m阶最完美幻方B1.

再从1～9的自然数中可重复地任意选定其和相等的2m对数，2m对共4m个数，按同一对的两个数处于到两端同距离的位置的原则把这4m个数排序，各取4m次，仿照构造最完美幻方的三步法（由于在此种情况下第二步与第三步结果是完全相同的，所以实际上就是两步）构造另一个由4m组相同的数组成的4m阶最完美幻方B2.

第三步　把由4m组相同的数组成的n=4m阶最完美幻方B1的数字作为新幻方的首位数即第k+2位数.(www.chuimin.cn)

把第一步所得非正规的n=4m阶最完美幻方B相应位置上数字的个位数作为新幻方的十位数，其十位数作为新幻方的百位数，其百位数作为新幻方的千位数，依此类推.

把由4m组相同的数组成的n=4m阶最完美幻方B2相应位置上的数作为新幻方的个位数.三者结合所得新幻方就是一个n阶最完美的掐头去尾幻方.

用三步法实际上可构造出22m（（2m）！）（22m-1）（2m）个不同的双偶数n=4m（m＝1，2，…为自然数）阶最完美幻方.由于从1～9的自然数中可重复地任意选定其和相等的2m对数，作为尾数，每对尾数的和可从2～18中任意选择，比如选定其和为10，则尾数有92m种不同的选择，同理每对首位数如选定其和为10，则首位数亦有92m种不同的选择.即每一个双偶数n=4m（m=1，2，…为自然数）阶最完美幻方可产生94m＝9n个不同的n=4m（m=1，2，…为自然数）阶最完美的掐头去尾幻方，亦即利用构造双偶数n=4m（m=1，2，…为自然数）阶最完美幻方的三步法可得到94m·22m（（2m）！）（22m-1）（2m）个不同的n=4m（m=1，2，…为自然数）阶最完美的掐头去尾幻方.

由于每对尾数或每对首位数的和可从2～18中任意选择，所以利用构造双偶数n=4m（m=1，2，…为自然数）阶最完美幻方的三步法实际上可得到比94m·22m（（2m）！）（22m-1）（2m）个多得多的不同的n=4m（m=1，2，…为自然数）阶最完美的掐头去尾幻方.