第一步，安装8阶基方阵A.把1～64按从小到大均分为8组.注意到1～8的自然数列中处于“中心”对称位置上的两个自然数，其和都等于8+1=9，我们共有4对这样的自然数1，8；2，7；3，6和4，5，在每对自然数中随意选取一个自然数，将这4个自然数随意排序，余下的4个自然数的排序必须使处于“中心”对称位置上的两个自然数，其和都等于8+1=9.比如我们取7，3，4，8，1，5，6，2这样的顺序，相应的自......
2023-10-20
4阶最完美幻方：幻中之幻
【摘要】：第一步，安装4阶基方阵A.把1～16按从小到大均分为4组.注意到1～4的自然数列中处于“中心”对称位置上的两个自然数，其和都等于4+1=5，我们共有2对这样的自然数1，4和2，3，在每对自然数中随意选取一个自然数，将这2个自然数随意排序，余下的2个自然数的排序必须使处于“中心”对称位置上的两个自然数，其和都等于4+1=5.比如我们取2，4，1，3这样的顺序，相应的自然数5～8重新按2+4=6，4+
第一步，安装4阶基方阵A.
把1～16按从小到大均分为4组.注意到1～4的自然数列中处于“中心”对称位置上的两个自然数，其和都等于4+1=5，我们共有2对这样的自然数1，4和2，3，在每对自然数中随意选取一个自然数，将这2个自然数随意排序，余下的2个自然数的排序必须使处于“中心”对称位置上的两个自然数，其和都等于4+1=5.比如我们取2，4，1，3这样的顺序，相应的自然数5～8重新按2+4=6，4+4=8，1+4=5，3+4=7排序；自然数9～12重新按2+2·4=10，4+2·4=12，1+2·4=9，3+2·4=11排序；自然数13～16重新按2+3·4=14，4+3·4=16，1+3·4=13，3+3·4=15排序.
与构造最简单的4阶最完美幻方的三步法的第一步相同，第1列自上而下按2，4，1，3的顺序安装1～4的自然数，第2列自下而上按6，8，5，7的顺序安装5～8的自然数；第4列自下而上按10，12，9，11的顺序安装9～12的自然数，第3列自上而下按14，16，13，15的顺序安装13～16的自然数.所得到的4阶方阵叫作基方阵A，基方阵A的每一行数字之和都等于幻方常数34.如图1-4所示.
图1-4 4阶基方阵A
第二步，对基方阵A做行变换，基方阵A上半部分不变，第3，4行依次作为新方阵的第4，3行，所得方阵记为B.如图1-5所示.
图1-5 行变换后所得方阵B
第三步，方阵B偶数行左右两部分交换所得方阵记为C，所得的4阶方阵C就是一个4阶最完美幻方.如图1-6所示.
图1-6 4阶最完美幻方(www.chuimin.cn)
方阵C每一行，每一列上的4个数字之和都等于34，对角线或泛对角线上4个数之和亦都等于34，对角线或泛对角线上，间距为2个位置的2个数字之和都等于16+1=17；任意位置上截取一个2×2的小方阵，其中4数之和都等于2（16+1）=34，所以方阵C是一个4阶最完美幻方.
用三步法可构造出22·2=8个不同的4阶最完美幻方.不包括每一个4阶最完美幻方可以衍生出的42=16个（包括这个4阶最完美幻方）4阶最完美幻方.
注意到每一个由三步法得到的4阶最完美幻方，如图1-6，其左半部分2列中，任意选取1列与与其相距2列的相应列做列交换，所得仍是一个4阶最完美幻方.即得出22－1=3个不同的4阶最完美幻方（包括这个4阶最完美幻方）.作为一个例子，如图1-7所示.
图1-7 对应列交换后所得4阶最完美幻方
又注意到每一个由三步法得到的4阶最完美幻方，如图1-6，其左半部分2列在左半部分中向右顺移，右半部分亦做相应的右移，所得仍是一个4阶最完美幻方.即得出2个不同的4阶最完美幻方（包括这个4阶最完美幻方）.作为一个例子，如图1-8所示.
图1-8 左右两部分相应右移后所得4阶最完美幻方
所以由三步法实际上可构造出（22·2）（22－1）·2=48个不同的4阶最完美幻方.
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