同高等数学中的实变幂级数一样,复变幂级数也有所谓幂级数的收敛定理,即阿贝尔(Abel) 定理.定理1(阿贝尔定理) 若级数在z = z0( 0) 收敛,那么对满足|z| ＜|z0| 的z,级数必绝对收敛.若在z = z0级数发散,那么对满足|z|＞|z0| 的级数必发散.证明 若级数收敛,根据收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的n有若|z|＜|z0|,则从而由于为公比小于1的等比级数,故收......
2023-10-30
函数展开成幂级数，求收敛半径R，考查余项极限是否为零
【摘要】：；写出幂级数，并求出收敛半径R；考查当x在区间内时余项Rn的极限是否为零.如果为零，则函数f在区间内的幂级数展开式为例1 将函数f=ex展开成x的幂级数.解 由fn=ex，得fn=1（n=0，1，2，…
1.直接法
函数f（x）展开成x的幂级数，可以按下列步骤进行：
（1）求出f（x）的各阶导数f′（x），f″（x），…，f（n）（x），…；
（2）求函数及其各阶导数在x=0处的值：f（0），f′（0），f″（0），…，f（n）（0），…；
（3）写出幂级数
，并求出收敛半径R；
（4）考查当x在区间（-R，R）内时余项Rn（x）的极限
是否为零.如果为零，则函数f（x）在区间（-R，R）内的幂级数展开式为
例1 将函数f（x）=ex展开成x的幂级数.
解 由fn（x）=ex，得fn（0）=1（n=0，1，2，…），于是f（x）的麦克劳林级数为
该级数的收敛半径为R=+∞.
对于任何有限的数x，ξ（ξ介于0与x之间），有
因
有限，而
是收敛级数
的一般项，所以(www.chuimin.cn)
即有
，于是得展开式
几个常用的麦克劳林展开式
2.间接展开法
一般情况下，只有少数简单的函数其幂级数展开式能利用直接法得到它的麦克劳林展开式.更多的函数是根据唯一性定理，利用已知函数的展开式（尤其是上面总结的几个基本函数的麦克劳林展开式），通过线性运算法则、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幂级数展开式.这种方法我们称为函数展开成幂级数的间接法.实质上函数的幂级数展开是求幂级数和函数的逆过程.
例2 将函数f（x）=sin x展开成
的幂级数.
解 因为
并且有
所以
.
例3 将函数
展开成x-1的幂级数.
解
收敛域的确定：由
和
得-1＜x＜3.
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2023-10-30
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2023-10-27
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2023-11-20
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