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高数二第二版：曲面积分计算法

2023-10-19 理论教育版权反馈

【摘要】：考查积分的计算，其他情形以此类推.设光滑曲面Σ：z=z（x，y）与平行于z轴的直线至多交于一点，在x Oy面上的投影区域为Dxy.由对坐标的曲面积分的定义若曲面Σ取上侧，则cosγ＞0，所以（ΔSi）xy=（Δσi）xy，否则（ΔSi）xy=-（Δσi）xy.又因为（ξi，ηi，ζi）是Σ上的一点，故ζi=z（ξi，ηi），从而有令λ→0取上式两端的极限，就得到式中右端符号的确定：若积分取曲面Σ上

考查积分 pagenumber_ebook=110,pagenumber_book=104 的计算，其他情形以此类推.

设光滑曲面Σ：z=z（x，y）与平行于z轴的直线至多交于一点，在x Oy面上的投影区域为Dxy.

由对坐标的曲面积分的定义

若曲面Σ取上侧，则cosγ＞0，所以（ΔSi）xy=（Δσi）xy，否则（ΔSi）xy=-（Δσi）xy.又因为（ξi，ηi，ζi）是Σ上的一点，故ζi=z（ξi，ηi），从而有

令λ→0取上式两端的极限，就得到

式中右端符号的确定：若积分取曲面Σ上侧，则取正号；若积分取曲面Σ下侧，则取负号.

类似地，如果Σ由x=x（y，z）给出，则有

式中右端符号的确定：当积分取曲面Σ的前侧时，即cosα＞0，取正号；当积分取曲面Σ的后侧时，即cosα＜0，取负号.

如果Σ由y=y（z，x）给出，则有

式中右端符号的确定：当积分取曲面Σ的右侧时，即cosα＞0，取正号；当积分取曲面Σ的左侧时，即cosα＜0，取负号.

例1 计算曲面积分

其中Σ是长方体Ω={（x，y，z）|0≤x≤a，0≤y≤b，0≤z≤c}的整个表面的外侧.(www.chuimin.cn)

解把有向曲面Σ分成以下六部分：

Σ1：z=c（0≤x≤a，0≤y≤b）的上侧；

Σ2：z=0（0≤x≤a，0≤y≤b）的下侧；

Σ3：x=a（0≤y≤b，0≤z≤c）的前侧；

Σ4：x=0（0≤y≤b，0≤z≤c）的后侧；

Σ5：y=b（0≤x≤a，0≤z≤c）的右侧；

Σ6：y=0（0≤x≤a，0≤z≤c）的左侧.

除Σ3、Σ4外，其余四片曲面在y Oz面上的投影为零，因此

因此

类似地，可得

于是所求曲面积分为（a+b+c）abc.