一、原函数与不定积分定义4.1 设f（x）是定义在区间I上的函数，如果存在函数F（x），对于任意x∈I，都有F′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx则称函数F（x）为函数f（x）在区间I上的一个原函数.例如，因为（sinx）′=cosx，则sinx是cosx的原函数.又因为（sinx+1）′=cosx，所以sinx+1也是cosx的原函数.由此例可以看出，一个函数若有原函数，则原函数可以不止......
2023-11-22
高等数学：曲面积分的概念与性质
【摘要】：在本章第一节的质量问题中，如果把曲线改为曲面，并相应地把线密度ρ（x，y）改为面密度ρ（x，y，z），小段曲线的弧长Δsi改为小块曲面的面积ΔSi，而第i小段上面的一点（ξi，ηi）改为第i小块曲面上的一点（ξi，ηi，ζi），那么在面密度为ρ（x，y，z）连续的前提下，所求的质量M就是下列和的极限：其中λ表示n小块曲面的直径的最大值.抽去它们的具体意义，就得出对面积的曲面积分的概念.定义1 设曲
在本章第一节的质量问题中，如果把曲线改为曲面，并相应地把线密度ρ（x，y）改为面密度ρ（x，y，z），小段曲线的弧长Δsi改为小块曲面的面积ΔSi，而第i小段上面的一点（ξi，ηi）改为第i小块曲面上的一点（ξi，ηi，ζi），那么在面密度为ρ（x，y，z）连续的前提下，所求的质量M就是下列和的极限：
其中λ表示n小块曲面的直径的最大值.
抽去它们的具体意义，就得出对面积的曲面积分的概念.
定义1 设曲面Σ是光滑的，函数f（x，y，z）在Σ上有界.把Σ任意分成n小块ΔSi（ΔSi同时代表第i小块曲面的面积），设（ξi，ηi，ζi）是ΔSi上任意取定的一点，作乘积f（ξi，ηi，ζi）ΔSi（i=1，2，3，…，n），并作和
.如果当各小块曲面的直径的最大值λ→0时，和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y，z）在曲面Σ上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作
，即
其中f（x，y，z）叫作被积函数，Σ叫作积分曲面.(www.chuimin.cn)
当f（x，y，z）在光滑曲面Σ上连续时，对面积的曲面积分是存在的.下面的讨论中均假设f（x，y，z）在Σ上连续.
根据上述定义，面密度为连续函数ρ（x，y，z）的光滑曲面Σ的质量
如果Σ是分片光滑的，规定函数在Σ上对面积的曲面积分等于函数在各光滑的片曲面上对面积的曲面积分之和.例如，设Σ可分成两片光滑曲面Σ1及Σ2（记作Σ=Σ1+Σ2），就规定
由对面积的曲面积分定义可知，它具有与对弧长的曲线积分相类似的性质，这里不再赘述.
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高等数学：定积分的概念和性质详细阅读
一、引例1.曲边梯形的面积设函数y=f（x）在闭区间[a，b]上非负且连续，则曲线y=f（x）与直线x=a，x=b，y=0围成的图形（见图5-1）称为曲边梯形.求其面积A的基本思想是在很小的区间上用小矩形面积近似代替小梯形面积.图5-1第一步：分割.用一串分点a=x0＜x1＜…......
2023-11-22
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高等数学：三重积分的概念与定义详细阅读
定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分.定义 设f是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分成n个小区域Δv1，Δv2，…，Δvn，其中Δvi表示第i个小闭区域，也表示它的体积.在每个Δvi上任取一点，作乘积fΔvi（i=1，2，…......
2023-10-19
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高等数学上册：不定积分性质总结详细阅读
性质1设函数f（x）的原函数存在，k为非零常数，则证因为，所以类似可证明不定积分有下列性质.性质2设函数f（x）与g（x）的原函数均存在，则性质2可推广到有限个函数的情形.利用不定积分的性质和基本积分公式可以求一些简单函数的不定积分.对于不定积分运算需要指出，虽然每个积分号都含有任意常数，但任意常数之和仍是任意常数，所以遇到几个任意常数时只要写一个任意常数即可.例5求解例6求解积分运......
2023-11-19
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高等数学基础：不定积分概念详细阅读
一、不定积分的概念原函数定义：设f（x）是定义某区间I上的已知函数，若存在一个函数F（x），对于该区间上每一点都满足：F′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，则称F（x）是f（x）在该区间I上的一个原函数.如已知f（x）=2x，由于F（x）=x2满足F′（x）=（x2）′=2x，所以F（x）=x2是f（x）=2x的一个原函数.同理，x2+1，x2-1，x2+10等也都是f（x）=2x的原函......
2023-11-20
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