二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是一平面区域.如果考虑三元函数f在一空间区域上的积分，就可得到三重积分的概念.一、三重积分概念设函数u=f在空间有界闭区域任意划分成n个子域ΔV1，ΔV2，ΔV3，…，ΔVn，它们的体积分别记作ΔVk（k=1，2，…......
2023-11-20
高等数学：三重积分的概念与定义
【摘要】：定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分.定义 设f是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分成n个小区域Δv1，Δv2，…，Δvn，其中Δvi表示第i个小闭区域，也表示它的体积.在每个Δvi上任取一点，作乘积fΔvi（i=1，2，…
定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分.
定义 设f（x，y，z）是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分成n个小区域Δv1，Δv2，…，Δvn，其中Δvi表示第i个小闭区域，也表示它的体积.在每个Δvi上任取一点（ξi，ηi，ζi），作乘积f（ξi，ηi，ζi）Δvi（i=1，2，…，n），并作和
.如果当各小区域的直径中的最大值λ趋于零时，和的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域Ω上的三重积分，记作
，即
其中d v叫作体积微元.
在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分Ω，那么除了包含Ω的边界点的一些不规则小区域外，得到的小区域Δvi为长方体.设长方体小闭区域Δvi的边长为Δxi，Δyi，Δzi，则Δvi=ΔxiΔyiΔzi.因此在直角坐标系中，把体积元素d v记作d x d y d z，则三重积分在直角坐标系下记作
其中d x d y d z叫作直角坐标系下的体积微元.
根据定义，密度为f（x，y，z）的空间立体Ω的质量M为(www.chuimin.cn)
这也是三重积分的物理意义.
三重积分具有与二重积分类似的性质，这里不再叙述，只指出其中一点：若f（x，y，z）=1，设积分区域Ω的体积为V，则
式（9.4.2）的物理意义：密度为1的均质立体Ω的质量在数值上等于Ω的体积.
当函数f（x，y，z）在闭区域Ω上连续时，式（9.4.1）右端的和的极限必定存在，也就是函数f（x，y，z）在闭区域Ω上的三重积分必定存在.下面讨论中，总是假定函数f（x，y，z）是在闭区域Ω上连续.
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2023-11-22
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2023-11-20
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