隐函数存在定理1及推导

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：隐函数存在定理1 设函数F（x，y）在点P（x0，y0）的某一邻域内具有连续的偏导数，且F（x0，y0）=0，Fy（x0，y0）≠0，则方程F（x，y）=0在点（x0，y0）的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f（x），它满足条件y0=f（x0），并有式（8.5.2）就是隐函数的求导公式.这个定理我们不证.现仅就式（8.5.2）作如下推导.将方程（8.5.1）所确定的函数y

隐函数存在定理1 设函数F（x，y）在点P（x0，y0）的某一邻域内具有连续的偏导数，且F（x0，y0）=0，Fy（x0，y0）≠0，则方程F（x，y）=0在点（x0，y0）的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f（x），它满足条件y0=f（x0），并有

式（8.5.2）就是隐函数的求导公式.

这个定理我们不证.现仅就式（8.5.2）作如下推导.

将方程（8.5.1）所确定的函数y=f（x）代入方程（8.5.1），得恒等式

其左端可以看作x的一个复合函数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得

由于Fy连续，且Fy（x0，y0）≠0，因此存在点（x0，y0）的一个邻域，在这个邻域内Fy≠0，于是得

例1 验证方程x2+y2-1=0在点（0，1）的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数的函数；求当x=0，y=1时的隐函数y=f（x），并求该函数的一阶导数在x=0的值.(https://www.chuimin.cn)

解设F（x，y）=x2+y2-1，则Fx=2x，Fy=2y，F（0，1）=0，Fy（0，1）=2≠0，

隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程F（x，y，z）=0就有可能确定一个二元隐函数.

隐函数存在定理2 设函数F（x，y，z）在点P（x0，y0，z0）的某一邻域内具有连续的偏导数，且F（x0，y0，z0）=0，Fz（x0，y0，z0）≠0，则方程F（x，y，z）=0在点（x0，y0，z0）的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数z=f（x，y），它满足条件z0=f（x0，y0），并有

例2 设x2+y2+z2-4z=0，求.

解设F（x，y，z）=x2+y2+z2-4z，则Fx=2x，Fz=2z-4.应用式（8.5.3）得

再一次对x求偏导数，得

隐函数存在定理1及推导

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