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多元复合函数求导法则

2023-10-19 理论教育版权反馈

【摘要】：定理1 如果函数u=φ（t）及v=ψ（t）都在点t可导，函数z=f（u，v）在对应点（u，v）处具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ（t），ψ（t）]在点t处可导，且其导数可用下列公式计算定理1可推广到复合函数的中间变量多于两个的情形.例如，设z=f（u，v，ω），u=φ（t），v=ψ（t），w=ω（t）复合而得复合函数则在与定理相类似的条件下，复合函数在点t可导，且其导数可用下列公式计算式（8.

定理1 如果函数u=φ（t）及v=ψ（t）都在点t可导，函数z=f（u，v）在对应点（u，v）处具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ（t），ψ（t）]在点t处可导，且其导数可用下列公式计算

定理1可推广到复合函数的中间变量多于两个的情形.例如，设z=f（u，v，ω），u=φ（t），v=ψ（t），w=ω（t）复合而得复合函数

则在与定理相类似的条件下，复合函数在点t可导，且其导数可用下列公式计算

式（8.4.1）及式（8.4.2）中的导数称为全导数.

上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形.例如，设z=f（u，v），u=φ（x，y），v=ψ（x，y）复合而得复合函数

定理2 如果函数u=φ（x，y）及v=ψ（x，y）都在点（x，y）具有对x及对y的偏导数，函数z=f（u，v）在对应点（u，v）具有连续偏导数，则复合函数（8.4.3）在点（x，y）处的两个偏导数存在，且可用下列公式计算

类似地，设u=φ（x，y），v=ψ（x，y）及w=ω（x，y）都在点（x，y）具有对x及对y的偏导数，函数z=f（u，v，w）在对应点（u，v，w）具有连续偏导数，则复合函数

在点（x，y）的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：

复合函数的中间变量既有一元函数也有多元函数的情形，这种情形可以视为定理2的特例，我们仅以一种情况为例，其他类似可得.

定理3 如果函数u=φ（x，y）在点（x，y）具有对x和y的偏导数，函数v=v（y）在点y处可导，函数z=f（u，v）在对应点（u，v）具有连续偏导数，则复合函数z=在对应点（x，y）的两个偏导数存在，且有

例1 设z=eu sin v而u=x y，v=x+y.求.

解(www.chuimin.cn)

例2 设，而z=x2sin y.求.

解

例3 设z=uv+sin t，而u=et，v=cos t.求全导数.

解

为表达简便起见，引入以下记号：

这里下标1表示对第一个变量u求偏导数，下标2表示对第二个变量v求偏导数，同理有等等.

全微分形式不变性设函数z=f（u，v）具有连续偏导数，则有全微分

如果u、v又是x、y的函数u=φ（x，y），v=ψ（x，y），且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数

的全微分为

由此可见，无论z是自变量x、y的函数或者中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的.这个性质叫作全微分形式不变性.