【知识点回顾】y=f（x）的微分定义：由函数的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=f′（x0）Δx+o（Δx）我们把增量的近似值称为函数f（x）在点x0处的微分，即我们已经学习了一元函数的微分的概念，现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数.这里以二元函数为例.全微分的定义：设二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的一个邻域内有定义，则在点（x0，y0......
2023-11-20
数学第三节：全微分及应用
【摘要】：【课前导读】对于一元函数来说，若Δy=AΔx+ο（Δx），A为常数，则称f（x）在x处可微，其中AΔx称为微分，记作d y=AΔx.f（x）在x处可微的充要条件是f（x）在该点可导，且d y=f′（x）Δx=f′（x）d x，那么对于二元函数来说，如何推广微分定义，对应的微分和导数是否能延续这样的关系，这都是这一节我们要解决的问题.我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时
【课前导读】
对于一元函数来说，若Δy=AΔx+ο（Δx），A为常数，则称f（x）在x处可微，其中AΔx称为微分，记作d y=AΔx.f（x）在x处可微的充要条件是f（x）在该点可导，且d y=f′（x）Δx=f′（x）d x，那么对于二元函数来说，如何推广微分定义，对应的微分和导数是否能延续这样的关系，这都是这一节我们要解决的问题.
我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率.根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得
上面两式的左端分别叫作二元函数对x和对y的偏增量，而右端分别叫作二元函数对x和对y的偏微分.
在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题.下面以二元函数为例进行讨论.
设函数z=f（x，y）在点P（x，y）的某一邻域内有定义，并设P′（x+Δx，y+Δy）为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）为函数在点P对应于自变量增量Δx、Δy的全增量，记作Δz，即
一般说来，计算全增量Δz比较复杂.与一元函数的情形一样，我们希望用自变量的增量Δx、Δy的线性函数来近似代替函数的全增量Δz，从而引入如下定义.
定义1 如果函数z=f（x，y）在点P（x，y）处的全增量
其中A、B不依赖于Δx、Δy而仅与x、y有关，
，则称函数z=f（x，y）在点P（x，y）处可微分，而AΔx+BΔy称为函数z=f（x，y）在点P（x，y）处的全微分，记作d z，即
如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数在D内可微分.
在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，也不能保证函数在该点连续.但是，由上述定义可知，li m
ρ→0Δz=0，即若函数z=f（x，y）在点P（x，y）处可微分，则在该点必连续.
下面讨论函数z=f（x，y）在点P（x，y）处可微分的条件.
定理1（必要条件） 如果函数z=f（x，y）在点P（x，y）处可微分，则该函数在点P（x，y）的偏导数
必定存在，且函数z=f（x，y）在点P（x，y）处的全微分为
偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件.但是，如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下面定理.
定理2（充分条件） 如果函数z=f（x，y）的偏导数
在点P（x，y）连续，则函数在该点可微分.
以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数.(www.chuimin.cn)
习惯上，我们将自变量的增量Δx、Δy分别记作d x、d y，并分别称为自变量x、y的微分.这样，函数z=f（x，y）的全微分就可以写为
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和称为二元函数的微分符合叠加原理.
类似地，三元函数u=φ（x，y，z）的全微分为
例1 计算函数z=x2y+y2的全微分.
解 因为
，所以
例2 计算函数z=exy在点（2，1）处的全微分.
解 因为
，代入点（2，1）可得
例3 计算函数
的全微分.
解 因为
，
，
，所以
最后，我们再简单讨论一下全微分在近似计算中的应用.
当函数z=f（x，y）在点P（x，y）处可微时，有
当|Δx|，|Δy|都很小时，当然ρ很小，从而o（ρ）也很小，于是有
利用上式可作近似计算.
例4 求（1.05）2.01的近似值.
解 设z=f（x，y）=xy，则fx（x，y）=yxy-1，fy（x，y）=xy ln x.于是有
令x=1，y=2，Δx=0.05，Δy=0.01，则
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