由于液体具有表面张力，液面往往显示不同程度的弯曲，弯曲液面的一个根本特性就是曲面两侧存在压力差。相应地AB边长由x变为x+dx，BC边长由y变为y+dy，AA′的距离为dz，于是面积增量为dA=-xy=xdy+ydx 体积增量为dV=xydz 式变为由相似三角形的比较可知：代入式可得若液面为球形，R1=R2=R，式变为图3-1-4任意曲面元的扩大示意图式就是著名的拉普拉斯方程。......
2025-09-29
逻辑斯蒂方程简介-高等数学
【摘要】：逻辑斯蒂方程是一种在许多领域中都有着广泛应用的数学模型，下面我们通过树的生长过程的例子来说明该模型的建立过程.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢，渐渐地，小树长高了，而且长得越来越快，但长到某一高度后，它的生长速度趋于稳定，然后再慢慢降下来.这一现象具有普遍性.现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比，则显然不符合两头尤其是后期的生长情形，因为树不可能越长越快；但如
逻辑斯蒂方程是一种在许多领域中都有着广泛应用的数学模型，下面我们通过树的生长过程的例子来说明该模型的建立过程.
一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢，渐渐地，小树长高了，而且长得越来越快，但长到某一高度后，它的生长速度趋于稳定，然后再慢慢降下来.这一现象具有普遍性.现在我们来建立这种现象的数学模型.
如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比，则显然不符合两头尤其是后期的生长情形，因为树不可能越长越快；但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差，则又明显不符合中间一段生长过程.折中一下，我们假定它的生长速度既与目前的高度成正比，又与最大高度和目前高度之差成正比.
设树生长的最大高度为H（m），在t（年）时的高度为h（t），则有
其中k＞0是比例常数，称此方程为逻辑斯蒂（Logistic）方程.
下面来求解方程（7.8.2），分离变量得
故所求通解为
，其中的
是正的常数.
下面举两个例子说明逻辑斯蒂方程的应用.(https://www.chuimin.cn)
人口阻滞增长模型 2025年，荷兰生物学家（Ver hulst）提出一个人口模型
其中k，b称为生命系数.
我们不详细讨论这个模型，只介绍应用它预测世界人口的两个有趣的结果.有生态科学家估计k≈0.029，利用20世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及2025年人口总数33.4亿人这两个数据，计算得b=2，从而估计得：
（1）世界人口总数将趋近于极限107.6亿人.（2）到2025年时世界人口总数为59.6亿人.
实际上，后一个数与2025年时的世界人口总数很接近.
新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场，t时刻的销量为x（t），由于产品性能良好，每个产品都是一个宣传品，因此t时刻产品销售的增长率
与x（t）成正比，同时考虑到产品销售存在一定的市场容量N，统计表明
与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N-x（t）也成正比，于是有
调查表明.许多产品的销售曲线与式（7.8.5）的曲线（逻辑斯谛曲线）十分接近.根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产；在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益.
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