放射性元素衰变问题的数学模型

2023-10-19 理论教育版权反馈

【摘要】：镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变.根据试验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t的质量.用x表示该放射性物质在时刻t的质量，则表示x在时刻t的衰变速度，于是“衰变速度与现存物质的质量成正比”可表示为这是一个以x为未知函数的一阶方程，它就是放射性元素衰变的数学模型，其中k＞0是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而不同.方程右端

镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变.根据试验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t的质量.

用x表示该放射性物质在时刻t的质量，则表示x在时刻t的衰变速度，于是“衰变速度与现存物质的质量成正比”可表示为

这是一个以x为未知函数的一阶方程，它就是放射性元素衰变的数学模型，其中k＞0是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而不同.方程右端的负号表示当时间t增加时，质量x减少.

解方程（7.8.1）得通解x=C e-kt.若已知当t=t0时，x=x0，代入通解x=C e-kt中，可得C=x0e-kt0，则可得到方程（7.8.1）的一个特解

它反映了某种放射性元素衰变的规律.

特殊地，当t0=0时，得到放射性元素的衰变规律

这正是从理论上解释了放射性物质的衰变规律.(www.chuimin.cn)

例1 碳14（14 C）是放射性物质，随时间而衰减，碳12是非放射性物质.活性人体因吸纳食物和空气，恰好补偿碳14衰减损失量而保持碳14和碳12含量不变，因而所含碳14和碳12之比为常数.通过测试，已知一古墓中遗体所含碳14的数量为原有碳14数量的80%，试确定遗体的死亡年代.

解放射性物质的衰变速度与该物质的含量成比例，它符合指数函数的变化规律.设遗体当初死亡时14 C的含量为p0，t时的含量为p=f（t），于是，14 C含量的函数模型为

其中p0=f（0），k是一常数.

常数k可以这样确定：由化学知识可知，14 C的半衰期为5 730年，即14 C经过5 730年后其含量衰减一半，故有

由此可知，遗体的活体人体大约死亡于1845年前.

放射性元素衰变问题的数学模型

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