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高等数学第二版第六节：二阶齐次线性微分方程

2023-10-19 理论教育版权反馈

【摘要】：，pn-1，pn都是常数.令y=erx，那么把y及其各阶导数代入方程，得方程叫作方程的特征方程.根据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程的通解如下：从代数学知道，n次代数方程有n个根.而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，且每项各含一个任意常数.这样就得到n阶常系数线性微分方程的通解：例4 求方程的通解y-2y+5y″=0.解这里的特征方程为即r2=0.它的根是r1=r2=0和r3，4=1±2i.因此所给微分方程的通解为

【课前导读】

根据二阶线性微分方程解的结构可知，求解二阶线性微分方程，关键在于如何求得二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解.本节主要介绍二阶常系数齐次线性微分方程的解法.

二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为

其中p、q均为常数.

从方程（7.6.1）的形式上看，其特点是：y″，y′与y各乘以常因子后相加为0.注意到指数函数和它的各阶导数都只相差一个常数因子，利用这一性质，可设方程的解为y=erx，其中r为待定的实常数或复常数.将y=erx对x求导，得到

显然，方程（7.6.2）的任意一个根r所对应的函数erx都满足方程（7.6.1），从而它就是方程（7.6.1）的一个解.方程（7.6.2）称为常系数齐次线性方程（7.6.1）的特征方程.它的根称为特征根或特征值.

这样一来，求解二阶常系数齐次线性微分方程（7.6.1），关键在于求解它所对应的特征方程（7.6.2）.

下面根据特征方程根的不同情况，分别进行讨论.

（1）特征方程有两个不相等的实根r1、r2，则函数是方程的两个线性无关的解.

这是因为，函数是方程的解，又不是常数，因此方程的通解为

（2）特征方程有两个相等的实根r1=r2，则只得到二阶常系数齐次线性微分方程的一个解.

为了得出微分方程（7.6.1）的通解，还需求出另一个解y2，并且要求不是常数.

设，即.

将y2对x求导，得

将y2、y′2和y″2代入微分方程（7.6.1），得

约去er1x，合并同类项，得

由于r1是特征方程（7.6.2）的二重根，因此，且2r1+p=0，得

因为这里只需得到一个不为常数的解，所以不妨选取u=x，由此得到微分方程（7.6.1）的另一个解

（3）特征方程有一对共轭复根r1，2=α±iβ时，函数y=e（α+iβ）x，y=e（α-iβ）x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.为了得出实值函数形式，我们先利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ把y1、y2改写为

由于复值函数y1与y2之间成共轭关系，因此取它们的和除以2就得到它们的实部；取它们的差除以2i就得到它们的虚部.由于方程（7.6.1）的解符合叠加原理，因此实值函数

还是微分方程（7.6.1）的解，且不是常数，所以微分方程（7.6.1）的通解为

综上所述，求解二阶常系数齐次线性微分方程y″+py′+qy=0的通解的步骤为：

第一步写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0.

第二步求出特征方程的两个根r1、r2.(www.chuimin.cn)

第三步根据特征方程的两个根的不同情况，写出微分方程的通解.

例1 求微分方程y″-2y′-3y=0的通解.

解所给微分方程的特征方程为其根r1=-1，r2=3是两个不相等的实根，因此所求通解为

例2 求方程y″+2y′+y=0满足初始条件的特解.

解所给方程的特征方程为

其根r1=r2=-1是两个相等的实根，因此所给微分方程的通解为

将条件代入通解，得C1=4，从而

再把条件代入上式，得C2=2.于是所求特解为

例3 求微分方程y″-2y′+5y=0的通解.

解所给方程的特征方程为

特征方程的根为r1=1+2i，r2=1-2i，是一对共轭复根，因此所求通解为

上面讨论二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解的形式，可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.

n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是

其中p1，p2，…，pn-1，pn都是常数.

令y=erx，那么

把y及其各阶导数代入方程（7.6.3），得

方程（7.6.4）叫作方程（7.6.3）的特征方程.

根据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程的通解如下：

从代数学知道，n次代数方程有n个根.而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，且每项各含一个任意常数.这样就得到n阶常系数线性微分方程的通解：

例4 求方程的通解y（4）-2y‴+5y″=0.

解这里的特征方程为

即r2（r2-2r+5）=0.它的根是r1=r2=0和r3，4=1±2i.因此所给微分方程的通解为