【主要内容】形如y″+py′+qy=f（x）（）（其中p，q是常数，f（x）是已知函数，且不恒为零）的微分方程，称为二阶常系数非齐次线性微分方程，称y″+py′+qy=0（）是式（）对应的齐次线性微分方程.如果Y（x）是式（）的通解，y（x）是式（）的一个特解，则y（x）=Y（x）+y（x）是式（）的通解.关于二阶常系数非齐次线性微分方程（）的特解有以下结论：（1）当f（x）=Pm（x）eλx（其......
2023-10-27
《高等数学》中一、二阶齐次线性微分方程解的结构
【摘要】：二阶齐次线性方程的解具有下列性质：定理1 如果函数y1与y2是方程的两个解，那么也是方程的解，其中C1、C2是任意常数.齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理.函数的线性相关与线性无关：定义1 设y1，y2，…
二阶齐次线性方程的解具有下列性质：
定理1 如果函数y1（x）与y2（x）是方程（7.5.2）的两个解，那么
也是方程（7.5.2）的解，其中C1、C2是任意常数.
齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理.
函数的线性相关与线性无关：
定义1 设y1（x），y2（x），…，yn（x）为定义在区间I上的n个函数.如果存在n个不全为零的常数k1，k2，…，kn，使得当x∈I时有恒等式
成立，那么称这n个函数在区间I上线性相关；否则称为线性无关.
注 对于两个函数，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数，如果比为常数，那么它们就线性相关，否则就线性无关.
定理2 如果y1（x）与y2（x）是方程（7.5.2）的两个线性无关的特解，那么
就是方程（7.5.2）的通解.(www.chuimin.cn)
例1 验证y1=cos x与y2=sin x是方程y″+y=0的线性无关解，并写出其通解.
解 容易验证y1=cos x与y2=sin x是所给方程的两个解，且
即它们是线性无关的.因此方程y″+y=0的通解为y=C1cos x+C2sin x（C1，C2为任意常数）.
例2 验证y1=x，y2=ex是方程（x-1）y″-x y′+y=0的线性无关解，并写出其通解.
解 容易验证y1=x，y2=ex是所给方程的两个解.因为比值
所以y1=x，y2=ex在（-∞，+∞）内是线性无关的.因此y1=x，y2=ex是方程（x-1）y″-xy′+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1x+C1ex（C1，C2为任意常数）.
推论 如果y1（x），y2（x），…，yn（x）是方程
的n个线性无关的解，那么此方程的通解为
其中C1，C2，…，Cn为任意常数.
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2023-10-19
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【主要内容】形如y″+py′+qy=0 （其中，p，q是常数）（）的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程.如果y1（x），y2（x）是式（）的两个线性无关的特解，则y=C1y1（x）+C2y2（x）是式（）的通解.称r2+pr+q=0为式（）的特征方程.关于式（）的通解有以下结论：（1）如果特征方程有两个不等的实根r1，r2，则式（）的通解为（2）如果特征方程有两个相等的实根r1，r2（r1=......
2023-10-27
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2023-11-20
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