高数二第2版：可分离变量微分方程

2023-10-19 理论教育版权反馈

【摘要】：一般地，形如的一阶微分方程称为可分离变量的一阶微分方程.当g（y）≠0时，方程（7.2.1）可写为这样一来，变量y与x便被分离在等号的两端了.设f（x）与g（x）都连续，求解方程（7.2.1），就是要寻找函数y=y（x），将它代入方程（7.2.1）后，能使此方程成为恒等式.从而，当g（y）≠0时，就有在解微分方程时，为了突出任意常数C，常把中所含的任意常数C明确写出来.根据不定积分的第一换元法，得

一般地，形如

的一阶微分方程称为可分离变量的一阶微分方程.

当g（y）≠0时，方程（7.2.1）可写为

这样一来，变量y与x便被分离在等号的两端了.

设f（x）与g（x）都连续，求解方程（7.2.1），就是要寻找函数y=y（x），将它代入方程（7.2.1）后，能使此方程成为恒等式.从而，当g（y）≠0时，就有

在解微分方程时，为了突出任意常数C，常把中所含的任意常数C明确写出来.根据不定积分的第一换元法，得

由式（7.2.3）所确定的隐函数y=y（x）就是方程（7.2.2）的通解.事实上，由以上推导可以看出，满足方程（7.2.2）的解y=y（x）必满足方程（7.2.3）；反之，对式（7.2.3）两端微分便得式（7.2.2），这说明满足式（7.2.3）的解也必满足式（7.2.2），而且，由式（7.2.3）所确定的隐函数中又含有一个任意常数，所以是通解.这种通过分离变量后对两端分别积分来求解微分方程的方法，称为分离变量法.

如果存在常数y0使g（y0）=0，那么将y=y0代入方程（7.2.1），两端均为零.这说明y=y0也是方程（7.2.1）的一个解.在许多情况下，这个解可以包含在前面所得到的通解中，即y=y0可由式（7.2.3）中让C取某特定值得到.

可分离变量的微分方程的解法：

第一步：分离变量，将方程写成g（y）d y=f（x）d x的形式；

第二步：两端积分，设积分后得G（y）=F（x）+C；