微分方程基本概念梳理

2023-10-19 理论教育版权反馈

【摘要】：【课前导读】微分方程（Differential Equation，DE）是一种数学方程，用来描述某一类函数与其导数之间的关系.微分方程的解是一个符合方程的函数.而在初等数学的代数方程里，其解是常数值.为了说明微分方程的有关概念，我们先看两个简单的例子.例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M（x，y）处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程.解设所求曲线的方程为y=f（x）.根据导数的几何

【课前导读】

微分方程（Differential Equation，DE）是一种数学方程，用来描述某一类函数与其导数之间的关系.微分方程的解是一个符合方程的函数.而在初等数学的代数方程里，其解是常数值.

为了说明微分方程的有关概念，我们先看两个简单的例子.

例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M（x，y）处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程.

解设所求曲线的方程为y=f（x）.根据导数的几何意义，可知未知函数y=f（x）应满足关系式（称为微分方程）

此外，未知函数y=f（x）还应满足下列条件：x=1时，y=2，简记为

把式（7.1.1）两端积分，得（称为微分方程的通解）

其中C是任意常数.

把条件“x=1时，y=2”代入式（7.1.3），得

由此得出C=1.把C=1代入式（7.1.3），得所求曲线方程（称为微分方程满足条件的解）

例2 列车在平直线路上以20 m/s（相当于72 k m/h）的速度行驶，当制动时列车获得加速度-0.4 m/s2.求开始制动后多长时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程.

解设列车在开始制动t s后时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数s=s（t）应满足关系式

此外，未知函数s=s（t）还应满足下列条件：t=0时，s=0，.简记为

把式（7.1.4）两端积分一次，得

这里C1，C2都是任意常数.

把条件代入式（7.1.6），得C1=20；

把条件代入式（7.1.7），得C2=0.

把C1，C2的值代入式（7.1.6）及式（7.1.7），得

在式（7.1.8）中令v=0，得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

再把t=50代入式（7.1.9），得到列车在制动阶段行驶的路程

综合以上两个例子，我们介绍几个关于微分方程的基本概念.

1.微分方程

定义1 表示未知函数、未知函数的导数（或微分）与自变量之间的关系的方程叫作微分方程.例如：例1中的关系式含有未知函数y（x）的一阶导数，例2中的关系式含有未知函数s（t）的二阶导数，它们都是微分方程.又如： pagenumber_ebook=8,pagenumber_book=2 y sin x+cos x=0，y″+2x3y′-3y=ex都是微分方程.这些方程中所有未知函数的自变量都是一个，换句话说，所讨论的未知函数都是一元函数，这类微分方程称为常微分方程.而未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书仅讨论常微分方程，简称为微分方程.