教育数学：评价、解题方法与成果

2023-10-17 理论教育版权反馈

【摘要】：对比之下，后者宽度较大，因而教师知道了前一种证法后，均乐于放弃传统教材中的方法。除了逻辑结构简单之外，能否提供有力的解题方法，也是评价教育数学成果优劣的一条重要标准。数学的心脏是问题。于是，这个任务落在了“教育数学”的肩上。充分发挥正迁移的作用，这个想法贯穿着我们在教育数学领域所做的初步工作。

为了判断教育数学成果的优劣，我们试着找出几条标准来。

最容易想到的是逻辑结构越简单越好。简单的东西容易掌握，这是毫无疑问的。有些数学定理，第一个证明会长达百页以上。陈景润研究哥德巴赫猜想取得“1+2”的结果，最初的证明有200页之多！对于这样长的证明，数学家一方面要硬着头皮来学习，另一方面又不满意，致力于寻找短证明。有些定理的证明似乎简短，但用到了比较专业的知识或高深的理论，这也会促使数学家寻求所谓初等的证明。只有简化到一定程度，初等化到一定程度，数学成果才能被更多的人理解，才有可能进入课堂！

所谓逻辑结构简单，又有三个含义：

（1）推理步骤的总数少

比如，平面几何教材中，总是从基本命题出发，一步一步地推出那些希望学生掌握的命题。材料组织得好，推理总步数就少。也就是说，构成整个逻辑链的环节就少，但功能并不弱。那怎样才能减少推理环节呢？这不仅要靠材料的组织，还要靠数学上的创新。

（2）推理的路径短

也就是说，从基本出发点到每个命题之间的逻辑环节尽可能少。在推理步骤总数相同的条件下，推理路径的长短可以不同。例如，五个命题A、B、C、D、E，如果推理过程为（每个箭头表示一步推理）

A→→B→→C→→D→→E，

它的最长路径为8步，平均路径为×（2+4+6+8）＝5步。但如果我们能找到一种放射型逻辑结构，那它的总步骤仍是8步，但最长路径仅有2步，平均路径也不过2步（见右图）！

这也表明，放射型逻辑结构有希望优于串联的逻辑结构。

（3）推理过程的“宽度”小

所谓推理的宽度，是指为了获得一个命题所要涉及的知识面。例如，为了获得“平行截割定理”，按照本书例题5.4.2的方法，只用到两个命题：

①若P是△ABC的边AB上的一点，则

②若AB∥MN，则△AMN＝△BMN。

而在常见的教材体系中，为了得到这个定理，需要先有下列命题：

（1）平行四边形对边相等。

（2）平行线的同位角判定法。

（3）相似三角形的“角、角”判定法。

（4）相似三角形对应边成比例。(www.chuimin.cn)

对比之下，后者宽度较大，因而教师知道了前一种证法后，均乐于放弃传统教材中的方法。

除了逻辑结构简单之外，能否提供有力的解题方法，也是评价教育数学成果优劣的一条重要标准。

数学的心脏是问题。学了数学知识，就要用这些知识去解决相应的实际问题、理论问题。如何教会学生解题，确实是数学教学中最复杂的问题之一。

同一个数学题常常有不同的解法。有些解法虽然有很强的技巧性，但只能用于狭窄的一类问题。比如传统的算术课里讲了不少特殊的解题技巧，把四则应用题分成“工程问题”、“混合物问题”、“行程问题”、“鸡兔同笼问题”等，并分别提供思路、技巧与公式。孩子们学推理、背公式，弄得焦头烂额。这些不同类型的题目，都可以通过方程轻松解决。代数之所以比算术高明，是因为它能够提供更有力的通用方法。

对数学材料的“教学法加工”，并不能提供新的更好的解题方法。于是，这个任务落在了“教育数学”的肩上。

除了简单的逻辑结构、有力的解题方法外，还应当要求些什么呢？那就是数学概念的引入，应当使学生感到亲切、自然、平易、直观。

教学过程中有信息的传递，但教学过程绝不是简单的信息传递过程。学生的大脑不是录音机里的磁带，不能只是简单地把输入的信息录下来。心理学的研究告诉我们：学生理解和形成数学概念，是一种主动的心理过程。他们把课堂上听到的新内容，纳入自己已有的经验系统，或者按自己的方式理解新的东西（同化），或者改造自己原有经验而形成新经验（顺应）。

在安排教学过程时，我们既要想到学生头脑里已经有的东西，又要考虑到学生将来要学的东西，充分发挥学习过程中正迁移的作用，防止负迁移。教育数学，要为这种安排提供素材。

对即将引入的内容，要形成“山雨欲来”之势。

对引入的新内容，要让学生有“似曾相识”之感。

比如，学生在小学就学了简单面积的计算，对面积的大小比较、面积的可加性都比较熟悉，而且他们在代数课上又学会了列方程式与解方程式，在此基础上，以面积为中心讲平面几何，自然易于接受。

又如当学生学数列时，自然的例子是数列1，2，3，4，…，这是无界不减数列。它提示我们利用无界不减数列引入无穷大列，无穷大列又唤来了无穷小列、极限概念。这也许会比“ε-语言”更易于接受吧。

类似地，学生熟悉了对自然数系适用的数学归纳法之后，进一步引导他们学习连续归纳法，是顺理成章的。

充分发挥正迁移的作用，这个想法贯穿着我们在教育数学领域所做的初步工作。

本书列举了相当数量的例题。不如此，就无法表明我们推荐的东西包含有力的解题工具：共边比例定理与共角比例定理、三角形面积公式、连续归纳法……

无论是以面积为中心的几何新体系，以无界不减数列为起点的极限定义，还是被先辈大师们遗漏了的连续归纳法，比起传统教材相应部分的内容，都有更简单的逻辑结构。

更简单的逻辑结构、更有力的解题方法、更平易近人的数学概念，这是教育数学追求的目标，是教育数学的择优标准，也是教育数学选题的指南。