之所以说十进制并非尽善尽美，我们有更有力的理由：因为还有比十进制记数法更优越的方法。充分利用这5个指头，能造出更好的记数法来。这种记数法的好处，不仅在于少用了6，7，8，9这4个数码，更重要的是运算起来方便。比方说，3.68在新记数法里是，截尾之后得到，恰好是3.7，相当于把3.68最后的8进上去。可见，十进制记数法虽然是一份珍贵的遗产，同时也是沉重的负担。因为世界上已经有太多的人学会了现在通行的十进制记数法。......
2023-10-17
数学教育变革：从教育数学到数学教育
【摘要】：仅仅这样说一下，并不足以证明教育数学就有权存在，还必须说明再创造的必要性与可能性。在数学的大后方，也并非无事可做。因此，为了数学教育的目的，我们应当用“批判”的眼光审视已有的数学知识。前面，我们着重讨论平面几何、极限概念和实数理论，也正是因为它们是公认的难点。难点，给教育数学提供了课题。这是教育学与数学面临的问题，是数学教育与教育数学的共同任务。教育数学，还怕没有事做吗？
我们已经规定了教育数学的任务：为了数学教育的需要，对数学成果进行再创造。
仅仅这样说一下，并不足以证明教育数学就有权存在，还必须说明再创造的必要性与可能性。
在数学的前沿，这种再创造的必要性与可能性早已举世公认。欧几里得、柯西、布尔巴基，就是极好的范例。在数学的大后方，也并非无事可做。这本书里已经提到了几件事：以面积为中心的平面几何推理体系与公理系统，以无界不减数列为起点的极限理论，在实数理论中引入连续归纳法。每件事在这里仅仅是开了个头。
这里面有许多新的定理、新的证法、新的定义和新的公理体系。而教学法加工，不可能把全等三角形与相似三角形的方法，变成“共边三角形”与“共角三角形”的方法；不可能改变极限定义的“ε-语言”；不可能挖掘出被遗漏的“连续归纳法”。
然而，数学家的目光往往忽略了这个角落，因为他们认为这里是太平无事的大后方，认为这里只有数学教育，而没有数学的研究对象。
教育数学，在数学教育和数学之间的边缘地带生出了小苗。如果只有这本书提到的几件工作，而没有更多的问题成为教育数学的动力，这株小苗就会枯萎。
可是我们无须担心，因为问题会源源而来。
数学知识，特别是作为数学教育内容的基础知识，是客观世界的空间形式与数量关系的反映。同样的空间形式，同样的数量关系，可以用不同的数学命题、数学结构、数学体系来反映。这就如同从不同的角度给一头大象拍照，会得到十分不一样的照片，但它总是这一头象。只是，有的反映方式便于学习、掌握、理解、记忆，有的则不然。
不同的反映方式，尽管都是客观世界的正确反映，但教育的效果却会大不相同。例如罗马数字的算术和阿拉伯数字的算术，尽管算题时得出同样的结果，但在教育效果上的差别是显而易见的。
因此，为了数学教育的目的，我们应当用“批判”的眼光审视已有的数学知识。这批判，当然不是怀疑这些数学知识的正确性，而是检查它在教育上的适用性。我们要用系统科学的观点，联系着前后左右的教学，联系着学生的心理特征与年龄特征，看一看，问一问，哪种反映方式较优？能不能找到更优或最优的反映方式？
为了认识平面图形的性质，我们可以学欧氏的《几何原本》，可以学《解析几何》或《三角学》，可以学《质点几何》，也可以学《向量几何》，还可以创造新的几何体系，就像我们在本书第四、五部分中所做的那样。哪种方案能更快更好地完成这一阶段数学教育的任务呢？这需要我们仔细考察。
同样学习“极限过程”的客观规律，可以用“ε-语言”，也可以用本书第七部分引入的单调序列比较法，其效果也会不同。(www.chuimin.cn)
寻求更优的反映方式，是数学上的再创造活动。但是，我们应当从哪里下手呢？
可以着眼于两点——难点和新点。
数学教学中，有一些传统的、公认的难点，例如几何解题、极限概念、三角变换等。对付难点常用的办法，有分散难点、推迟难点、反复强化、适当回避等手段。
从教育数学的角度看，难点之难，很可能是由于数学成果未能给客观世界提供好的反映，这就需要通过再创造寻求更优的反映方式。也就是说，通过教育数学的研究，改造数学概念的表述方式，提供更便于掌握的方法，化解难点。
前面，我们着重讨论平面几何、极限概念和实数理论，也正是因为它们是公认的难点。
难点，给教育数学提供了课题。
什么是新点呢？
随着数学的发展和科学技术的进步，数学教育的内容和方法也必然相应变化。传统的初等数学，即中小学的数学，不过是算术、几何、代数与三角，这些都是几百年前数学家们早已熟知的东西。而现代的初等数学，即数学教育现代化运动中提出的应当进入中学课堂的教学，已包括：①初等微积分；②初等集合论；③数理逻辑引论；④近世代数的概念，特别是群、环、域和向量的概念；⑤概率论和统计引论。有些方案还主张加入向量空间和线性代数、等价关系和顺序关系、初等拓扑学引论和非欧几何学引论等内容。
这么多的东西，一下子挤进中学数学的课堂，将会造成什么局面？如何才能使学生学得更快更好而又不加重负担？这是教育学与数学面临的问题，是数学教育与教育数学的共同任务。这么多的内容如何妥善安排，形成一个优化的系统，光靠教学法加工显然不够，还需要数学上的再创造。
大学的数学教学面临同样的问题。如何讲微分流形？如何讲非标准分析？如何讲图形学？大批的材料有待于再创造。
教育数学，还怕没有事做吗？
有关从数学教育到教育数学的文章
- 详细阅读
-
从数学教育到教育数学：揭示华丽转换详细阅读
数学面貌的大变化对数学教育提出了新的要求。改革数学教育的浪潮，席卷了世界所有发达国家。数学教育已经成为一门受到广泛重视的学科。数学教育学的对象是数学教学，而不是数学本身。于是，数学教育学要靠数学提供材料。为了数学教育的需要，对数学成果进行再创造，这已不是数学教育学的任务了。这主要是数学工作者的责任，是数学的任务。......
2023-10-17
-
从数学教育到教育数学：连续归纳法应用详细阅读
有了连续归纳法，数学分析里的一系列涉及实数连续性和连续函数性质的定理，就可以用统一的模式来证明。以下用连续归纳法证明：这将推出每个实数都是{bn}的下界，即得矛盾。由连续归纳法，px对一切x成立。[例8.3.6]设f在[a，b]上连续，f＜0，f＞0，则至少有一个点x0∈（a，b），使f＝0。[例8.3.7]若f在[a，b]上连续，则f在[a，b]上取到最大值和最小值。......
2023-10-17
-
面积与自然对数：从数学教育到教育数学详细阅读
为底的对数——自然对数。若用曲线y＝下的面积引入自然对数lnx，则显得简单具体、直观性强，而且涉及的基础知识少，还把平面几何、解析几何与高等数学更密切地联系起来了。推论6.3.3对任意λ＞0，有①也可不用压缩变换，直接用求导方法证明sx1＝sλxλ。至此，可以引入自然对数了。定义6.3.2对0＜x＜+∞，记＝lnx，并称函数y＝lnx为x的自然对数。从两个定义及三个推论中，立刻得到自然对数的一系列性质。......
2023-10-17
-
从数学教育到教育数学，逻辑展开与平行线定理详细阅读
命题5.4.1设M、N两点在直线AB的同侧，则MN∥AB的充分必要条件是△MAB＝△MAB。这是上一小节已证明的例题5.3.9。命题5.4.2两直线AB、CD和另一直线l交于P、Q，若同位角相等，则AB∥CD。于是，共角比例定理可以完善成为命题5.4.4若△ABC与△A′B′C′中，有∠A＝∠A′或∠A+∠A′＝180°，则。命题5.4.5PQ∥AB，若直线l与AB垂直，则l也和PQ垂直。推论5.4.2平行线处处等距。推论5.4.3若直线l1∥l2，而l3与l1、l2相截，则内错角相等。......
2023-10-17
-
不使用ε-语言，讨论数列极限|从数学教育到教详细阅读
定义7.3.3设{an}是无穷数列。用“ε-语言”，不仅能够引入极限概念，还能证明与极限有关的一系列基本定理，直接计算一些具体的极限。实践证明确实有效，而且比用“ε-语言”还要简便！[例7.3.1]求证数列是无穷小列。有些微积分的参考资料以此题为例，说明不用“ε-语言”不可能严格地讲微积分。命题7.3.1设{αn}、{βn}为无穷小列，{Ln}为有界数列。......
2023-10-17
-
从数学教育到教育数学，解析函数极限新方法详细阅读
既然讲数列极限可以不用“ε-语言”，那么讲函数极限也可以不用“ε-语言”，只不过用“无界不减函数”代替“无界不减数列”罢了。定义7.4.2设f是在[c，+∞）上有定义的函数。用“ε-语言”讲函数极限，常常要一条一条分别给出各种过程中的极限定义。这一套定义，将使学生在学习微积分时免受“ε-语言”之累，在定理证明和做题时用代数运算代替逻辑推理。[例7.4.1]求证：＝+∞。......
2023-10-17
-
点到面推理：数学教育到教育数学详细阅读
前面的几个例子都有这个特点：利用一点邻域的性质来推出全局的性质。抓住这一点，便能建立一个统一的推理模式，使许多定理的证明简化。我们引入一个“可分命题”的概念。可分命题 设命题Q△是涉及区间△的一个判断，如果满足下面两条：若Q△成立，且△1△，则Q△成立。使用定理Q，一定要把所要证的命题设法转化成一个有关的可分命题。下面，我们用上一节的例题来说明这种推理模式的用法。推证方法同确界存在定理，用反证法。......
2023-10-17
相关推荐