有了连续归纳法，数学分析里的一系列涉及实数连续性和连续函数性质的定理，就可以用统一的模式来证明。以下用连续归纳法证明：这将推出每个实数都是{bn}的下界，即得矛盾。由连续归纳法，px对一切x成立。[例8.3.6]设f在[a，b]上连续，f＜0，f＞0，则至少有一个点x0∈（a，b），使f＝0。[例8.3.7]若f在[a，b]上连续，则f在[a，b]上取到最大值和最小值。......
2025-09-30
从欧几里得到布尔巴基：数学教育的转变
【摘要】：然而有趣的是，布尔巴基要求加入美国数学会的申请被拒绝了。理由很简单，因为美国数学会认为，世界上没有这个名叫布尔巴基的人。布尔巴基强烈抗议，然而没有用。因为事实上确无此人，布尔巴基是一个集体的笔名。布尔巴基们把数学归结为“研究抽象结构的理论”。布尔巴基的书，成为数学家们的高级教程。欧几里得、柯西、布尔巴基，他们是站在数学发展的前沿进行再创造活动。
目前，世界上有数以万计的数学家，他们孜孜不倦地在数学的矿山里开掘。由于他们的劳动，新概念、新定理、新猜想、新问题如雨后春笋般地冒出来。据统计，《美国数学评论》每年摘引的新定理不下20万条！
这些新定理的命运如何呢？
它们中的绝大多数，或由于平凡，或由于繁琐，或由于过于专业，或由于其他不知道的原因，被束之高阁，被人们忘却，甚至根本不被人们注意——那就连忘却也谈不上了。
它们中的少部分，曾受到同行专家的青睐，被写入综合性论文，写入专著，甚至载入史册，成为数学工作者或其他科技工作者学习研究的基本参考资料。
只有极少极少的部分，由于它既基础又重要，或特别简单有趣，所以能进入小学、中学或大学的课堂，成为人类代代相传的珍贵遗产中的一部分。
从浩如烟海的原始文献到提纲撮要的综合报告、自成体系的专著，再到能引导初学者跨越科学之门的教材，需要人们付出艰苦繁重的劳动，需要数学上的再创造。
这种再创造的劳动果实为科学界所共享，为学习者所需要。干得出色，就会受到热烈的欢迎、高度的评价。
从古至今，都是如此。
欧几里得的《几何原本》，是第一个取得了辉煌成就的对数学材料进行再创造的范例。它影响数学家和科学家的思维方式达2025年之久。直到今天，它仍然没有退出中学课堂！
19世纪法兰西科学院院士柯西，对积累了200多年的微积分成果进行了再创造的研究，写出了迈向严密的微积分王国的第一部教程——《分析教程》。年轻的挪威数学家阿贝尔在他的文章中赞扬道：“每一个在数学研究中喜欢严密性的人，都应该读这本杰出的著作！”(https://www.chuimin.cn)
进入20世纪，数学的发展越来越迅速，这种再创造的工作显得更加重要和必需。有需要就有动力，于是一批有胆有识之士义无反顾地为此献身。
尼古拉·布尔巴基，现代最著名的法国数学家，已经出版了皇皇巨著《数学原理》的前40卷。这部尚未完成的数学百科全书的目的是“对数学从头探讨，并给予完全的证明”。《数学原理》在国际数学界引起了强烈反响，它和它的作者获得了很高的声誉。
然而有趣的是，布尔巴基要求加入美国数学会的申请被拒绝了。理由很简单，因为美国数学会认为，世界上没有这个名叫布尔巴基的人。布尔巴基强烈抗议，然而没有用。因为事实上确无此人，布尔巴基是一个集体的笔名。
布尔巴基们把数学归结为“研究抽象结构的理论”。他们认为，集合论是数学大厦的地基，而大厦的骨架由三种最基本的结构——母结构组成。这三种母结构是：序结构、代数结构、拓扑结构。比如，我们熟悉的实数有大小，这是序结构；有四则运算，这是代数结构；有连续性，这是拓扑结构。
母结构加进新的公理，产生子结构。不同的结构结合起来，产生复合结构。布尔巴基们认为，研究今天已有的和未来可能产生的种种结构，就是纯数学的特征。
有了结构观点，数学的核心部分就条理化、系统化了。布尔巴基的书，成为数学家们的高级教程。
这样看来，从古到今，数学成果的整理加工与再创造，都是有益的、受人赞扬的、影响深远的。
欧几里得、柯西、布尔巴基，他们是站在数学发展的前沿进行再创造活动。他们的书，首先是为了数学家的学习，然后才进入课堂，成为教材的蓝本。所以，人们通常不称他们为教育数学家。其实广义地说，他们的工作确实应当算是教育数学的活动。
但是，离开了数学发展的前沿，在数学的大后方，面对着似乎是早已熟悉的材料，面对着中小学及大学教程的“老生常谈”，还有没有数学研究的余地呢？还有没有再创造的必要与可能呢？如果只剩下“教学法加工”，教育数学就无事可做了。
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