点到面推理：数学教育到教育数学

2023-10-17 理论教育版权反馈

【摘要】：前面的几个例子都有这个特点：利用一点邻域的性质来推出全局的性质。抓住这一点，便能建立一个统一的推理模式，使许多定理的证明简化。我们引入一个“可分命题”的概念。可分命题设命题Q△是涉及区间△的一个判断，如果满足下面两条：若Q△成立，且△1△，则Q△成立。使用定理Q，一定要把所要证的命题设法转化成一个有关的可分命题。下面，我们用上一节的例题来说明这种推理模式的用法。推证方法同确界存在定理，用反证法。

前面的几个例子都有这个特点：利用一点邻域的性质来推出全局的性质。抓住这一点，便能建立一个统一的推理模式，使许多定理的证明简化。

我们引入一个“可分命题”的概念。

可分命题设命题Q△是涉及区间△的一个判断，如果满足下面两条：

（1）若Q△成立，且△1⊂△，则Q△成立。

（2）若△1∩△2≠Ø，则由Q△1成立且Q△2成立，可推出Q△1∪△2成立。这时便说Q△是关于区间的可分命题。这里，区间△可以是开的、闭的、半开半闭的。

对于可分命题，可以建立一个统一的推理模式：

定理Q （关于可分命题的统一推理模式）设Q△是可分命题。对任一点x∈[a，b]，有包含x的（α，β）使Q（α，β）成立，则Q[a，b]成立。

这个定理可以用连续归纳法证明，也可以用有限覆盖定理更简单地导出，或直接由戴德金公理推出。这里略去具体的证明。

使用定理Q，一定要把所要证的命题设法转化成一个有关的可分命题。下面，我们用上一节的例题来说明这种推理模式的用法。

确界存在定理　把命题转化为可分命题Q△：△中的点都是M的上界或都不是M的上界。

用反证法。若M无最小上界，则当x不是上界时，有含x的（α，β）使其中的点均非上界；而当x是M的上界时，有含x的（α，β）使其中的点均为M的上界。由定理Q，命题Q[a，b]对任意a、b成立，取a∈M，b为M的上界，即推出矛盾。

区间套定理　把命题转化为可分命题Q△：△中的点或者都是{bn}的下界，或者都不是{bn}的下界。