从数学教育到教育数学：连续归纳法应用

2023-10-17 理论教育版权反馈

【摘要】：有了连续归纳法，数学分析里的一系列涉及实数连续性和连续函数性质的定理，就可以用统一的模式来证明。以下用连续归纳法证明：这将推出每个实数都是{bn}的下界，即得矛盾。由连续归纳法，px对一切x成立。[例8.3.6]设f在[a，b]上连续，f＜0，f＞0，则至少有一个点x0∈（a，b），使f＝0。[例8.3.7]若f在[a，b]上连续，则f在[a，b]上取到最大值和最小值。

有了连续归纳法，数学分析里的一系列涉及实数连续性和连续函数性质的定理，就可以用统一的模式来证明。

[例8.3.1]　（确界存在定理）非空有上界的实数集合必有最小上界。

证明：只要证明“若数集M无最小上界，则M无上界”就可以了。用连续归纳法：

设命题px为：x不是M的上界。

（1）因M非空，故有x0∈M，于是对一切x∈（－∞，x0），x不是M的上界，即px真。

（2）若对任意的x∈（－∞，y）有px成立，即x不是M的上界，则y也不是M的上界；否则，y将成为最小上界而与假设矛盾。既然y不是M的上界，必有δ＞0使y+δ∈M。于是对一切的x∈（－∞，y+δ）有px真。

由连续归纳法，对一切x有px真。即任一x不是M的上界，即M无上界。

[例8.3.2]　（区间套定理）若有一列区间[an，bn]满足[an，bn]⊃[an+1，bn+1]，则存在实数x0属于每一个[an，bn]。若{bn－an}无正的下界，这样的x0还是唯一的。

证明：若有两个实数x1、x2属于一切[an，bn]，则由bn－an≥｜x1－x2｜，可知{bn－an}有正的下界。可见当{bn－an}无正的下界时，至多有一个实数x属于所有的[an，bn]。

剩下要证明有实数x0满足an≤x0≤bn（n＝1，2，…），用反证法。若没有这样的x0，则{bn}的任一下界都不是{an}的上界。以下用连续归纳法证明：这将推出每个实数都是{bn}的下界，即得矛盾。

引入命题px：x是{bn}的下界。则

（1）取x0＝a1，则对一切x＜x0，px真。

（2）若对一切x＜y有px真，则在（－∞，y）中不可能有{bn}中的数，因而y也是{bn}的下界。由反证法假设，y不是{an}的上界，故有某个an0＞y，取δ＝an0－y，于是对一切x＜y+δ＝an0，有px真。由连续归纳法知一切x是{bn}下界。

[例8.3.3]　（有限覆盖定理）若有一族开区间U＝{Δζ}覆盖了闭区间[a，b]，则从U中必可选出有限个Δζ覆盖住[a，b]。

证明：用连续归纳法：

引入命题px：[a，x]能被U中的有限个区间盖住。

这里，闭区间[a，x]通常表示所有满足条件a≤u≤x的数u之集。当x＜a时，这样的u就没有了，[a，x]当然表示空集。

（1）取xn＝a，则对一切x＜x0，[a，x]是空集。空集，不取什么区间也可以覆盖，所以px总成立。

（2）如果对某个y，一切x＜y，[a，x]有U中的有限覆盖。我们来证明，y必定可以再向右移一点，即y变成y+δ后，对一切x＜y+δ，[a，x]仍有U中的有限覆盖。不妨设y∈[a，b]（如图8-2）。这里U中有个区间（α，β），使得y∈（α，β）。在（α，y）内取一点x1，在（y，β）内取一点x2。按归纳假设，[a，x1]有U中的有限覆盖，而[x1，x2]当然也有U中的有限覆盖，一个（α，β）就够了。合起来，[a，x2]有U中的有限覆盖。取x2－y＝δ，则对任一个x＜y+8＝x2，px真。

由连续归纳法，px对一切x真。取x＝b，即知[a，b]有限覆盖。

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图8-2

[例8.3.4]　（波尔查诺—魏尔斯特拉斯定理）若无穷点集M被[a，b]包含，则[a，b]中至少有M的一个极限点。即存在这样的点x0，使任何含x0的开区间均含M中的无穷多个点。

证明：用反证法。设M没有极限点（当然，M的极限点不会在[a，b]之外。M没有极限点，也就是[a，b]中没有M的极限点），下面用连续归纳法证明M中只有有限个点，从而导致矛盾。

引入命题px：在（－∞，x]中只有M的有限个点。

（1）取x0＝a，对任一个x＜x0，显然px真。

（2）如果某个y，使一切x＜y有px真，因为y不是M的极限点，故有开区间（α，β）使y∈（α，β），而（α，β）内只有M的有限个点。参看图8-2，在（α，β）内取x1，由归纳假定，（－∞，x1]内只有M的有限个点，（α，β）内也只有M的有限个点，于是（－∞，β）内只有M的有限个点。现在取δ＝β－y，于是对一切x＜y+δ有px真。

由连续归纳法，对一切x，（－∞，x]内只有M的有限个点。取x＝b，可推出M是有穷集。这与题设矛盾。

[例8.3.5]　（连续函数的有界性）若f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上有界。

证明：为了证明方便，把f开拓成（－∞，+∞）上的函数f*：

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再对f*用连续归纳法。

引入命题px：f*（x）在（－∞，x）上有界。(www.chuimin.cn)

（1）取x0＝a，则对一切x＜x0，px真。

（2）若对一切x＜y有px真，由于f*在点y连续，故有（α，β），使y∈[α，β]，并且f*在（α，β）上有界。参看图8-2，在（α，y）内取x1，则f*在（－∞，x1]上有界，又在[x1，β]上有界，从而在（+∞，β）上有界。取βy＝δ，对任一个x＜y+δ＝β，px真。

由连续归纳法，px对一切x成立。取x＝b，即得结论：f*在（－∞，b]上有界，即f（x）在[a，b]上有界。

[例8.3.6]　（连续函数的中间值定理）设f（x）在[a，b]上连续，f（a）＜0，f（b）＞0，则至少有一个点x0∈（a，b），使f（x0）＝0。

证明：用反证法。设对一切x∈[a，b]有f（x）≠0，我们用连续归纳法推出矛盾。

仍按例8.3.5的方式，把f（x）拓展到全实数集上成为f*，见（8.3.1）式。

引入命题px：f*（x）在（－∞，x]上恒为负。

（1）因f（a）＜0，按（8.3.1），对任一个x＜x0＝a，px真。

（2）若对任一个x＜y，有px真，则对一切x＜y有f*（x）＜0。按反证法假设f*（y）≠0，由f*在y的连续性，有（α，β）使y∈（α，β），且f*在（α，β）上与f*（y）同号。由f*（α）＜0知f*在（α，β）上为负，取δ＝βy，则对一切x＜y+δ＝β，有px真。

由连续归纳法，px对一切x成立。取x＞b，可得f（b）＜0，导致矛盾。

[例8.3.7]　（连续函数的最大值定理）若f（x）在[a，b]上连续，则f在[a，b]上取到最大值和最小值。

证明：只要证最大值的情形就行了。

仍按（8.3.1）式把f拓展成（－∞，+∞）上的f*。用反证法，设f在[a，b]上取不到最大值，即f*在（－∞，+∞）上取不到最大值。

引入命题px：存在一点u，使f*（u）大于f*在（－∞，x]所取的一切值。

（1）对任－x＜a，px真。这是因为若不是这样，f（a）便成为f在[a，b]上的最大值了。

（2）设对某个y，一切x＜y均使px真。由于f*（y）不是f*的最大值，故有u1，使f*（u1）＞f*（y）。由f*在y连续，有区间（α，β）使得y∈（α，β），且f*在（α，β）的取值均小于f*（u1）。参看图8-2，在（α，β）内取x1，由归纳假设，有u2使f*（u2）大于f*在（－∞，x1]上的取值。取f*（u）为f*（u1）与f*（u2）中的较大者，则f*（u）大于f*在（－∞，β）上的值。取δ＝β－y，则当x＜y+δ时px成立。