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两种极限定义的等价性的直接成果

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：传统的“ε-语言”和这里提出的“D-语言”在逻辑上是否等价呢？不难看出，它们是等价的。只要对无穷小的情形加以论证即可。命题7.5.1对任一数列{an}，下列两条件是等价的。这是因为按dn定义有｜an｜≤dn，且当n＞m时｜an｜＝0之故。命题7.5.2设f是在[c，+∞）上有定义的函数，则下列两条件等价：有一个无界不减的正函数D和某个正数A≥c，使在[A，+∞）上有对任给的ε＞0，总存在N≥c，使得当x≥N时，有｜f｜＜ε。

传统的“ε-语言”和这里提出的“D-语言”在逻辑上是否等价呢？

不难看出，它们是等价的。只要对无穷小的情形加以论证即可。

命题7.5.1　对任一数列{an}，下列两条件是等价的。

（1）有一个无界不减的正数列Dn，使

（2）对任给的ε＞0，有N＞0，使当n≥N时有

证明：先证（1）蕴涵（2）：设有无界不减数列Dn满足｜an｜≤，则对任给的ε＞0，由{Dn}的无界性，有DN＞。又由Dn不减，对n≥N有

于是（2）成立。

再证（2）蕴涵（1）：首先指出，对任意的m，数列{｜am｜，｜am+1｜，｜am+2｜，…}中必有最大者。否则，其中必有一无穷子列{ami}使

0＜｜am1｜＜｜am2｜＜｜am3｜＜…

于是取ε＝｜am1｜即与（2）矛盾。现在记

即dn为{｜an｜，｜an+1｜，…}中的最大者，则

d1≥d2≥…dn≥…≥0。

如果从某一个m起dm＞0，而dm+1＝dm+2＝…＝0，我们取

则显然Dn无界不减，且｜an｜≤。这是因为按dn定义有｜an｜≤dn，且当n＞m时｜an｜＝0之故。

如果所有的dn都为正数，取Dn＝，则显然有｜an｜≤，且Dn不减。要证明的是Dn无界，用反证法：若不然，有A＞0，使对一切n有Dn＜A，于是dn＞。现在取ε＝，按（2）应有N＞0，使当n≥N时有

另一方面，由dn＞可知有n1≥n使｜an1｜≥dn＞＝ε，这与（7.5.1）式矛盾。

从证明过程中我们看到，用“D-语言”的定义导出“ε-语言”定义要容易得多，这也是“D-语言”比“ε-语言”方便的原因之一。(https://www.chuimin.cn)

对于函数的无穷小，只要讨论x→+∞时的一种情形就足够了。

命题7.5.2　设f（x）是在[c，+∞）上有定义的函数，则下列两条件等价：

（1）有一个无界不减的正函数D（x）和某个正数A≥c，使在[A，+∞）上有

（2）对任给的ε＞0，总存在N≥c，使得当x≥N时，有

｜f（x）｜＜ε。

证明：先证（1）可以推出（2）：设（1）成立，对任给的ε＞0，由于D（x）

无界，故一定有x0使D（x0）＞。于是对一切x≥x0，当x∈[A，+∞）时，有｜f（x）｜≤＜ε，只要取N为x0、A中的大者即可。这证明了（2）成立。

再证（2）蕴涵（1）：若（2）成立，取ε1＝1，可以找到N1≥c，使当x≥N1时有｜f（x）｜＜1。再取，又可以找到N2＞N1+1，使当x≥N2时有｜f（x）｜＜。一般地，对εk＝，可以找到Nk＞Nk－1+1，使当x≥Nk时，有｜f（x）｜＜。这就会得到

c≤N1＜N2＜…＜Nk＜…

而且Nk＞Nk－1+1。令

D（x）＝k（x∈[Nk，Nk+1）），

显然D（x）无界不减。由Nk的意义可知有

于是（1）成立。

这样，我们就可以放心地使用“D-语言”而不必担心有什么逻辑上的漏洞了。

令人担心的倒是，目前教师普遍采用延长学习时间而不是改进教材体系的办法来克服“ε-语言”带来的困难。例如，从中学课程中就开始加入“ε-语言”的内容。这样做，就如同靠加大劳动强度来提高劳动生产率一样，是行不通的！结果只会使“ε-语言”被更广泛地接受而难于改变，如同方块汉字和十进制一样。