从数学教育到教育数学，解析函数极限新方法

2023-10-17 理论教育版权反馈

【摘要】：既然讲数列极限可以不用“ε-语言”，那么讲函数极限也可以不用“ε-语言”，只不过用“无界不减函数”代替“无界不减数列”罢了。定义7.4.2设f是在[c，+∞）上有定义的函数。用“ε-语言”讲函数极限，常常要一条一条分别给出各种过程中的极限定义。这一套定义，将使学生在学习微积分时免受“ε-语言”之累，在定理证明和做题时用代数运算代替逻辑推理。[例7.4.1]求证：＝+∞。

既然讲数列极限可以不用“ε-语言”，那么讲函数极限也可以不用“ε-语言”，只不过用“无界不减函数”代替“无界不减数列”罢了。

定义7.4.1　设D（x）是在[c，+∞）上有定义的函数。如果D（x）是单调不减的（即当x1＜x2时有D（x1）≤D（x2）），并且是无界的（即不存在M＞0使不等式｜D（x）｜≤M对一切x∈[c，+∞）成立），就称D（x）是+∞邻域的无界不减函数。

无界不减函数，是一个很简单、很明确的概念。有了它，便可以对函数引入无穷大、无穷小及极限概念了。

定义7.4.2　设f（x）是在[c，+∞）上有定义的函数。如果有一个在+∞邻域无界不减的函数D（x），使不等式

｜f（x）｜≥D（x）

对某个区间[A，+∞）上的一切x成立，则称f（x）在x趋于+∞时趋于∞，记作

或

f（x）→∞（x→+∞）。

有了无穷大，如法炮制，无穷小就有了。

定义7.4.3　设f（x）在[c，+∞）上有定义。若有一个在+∞邻域无界不减的恒正函数D（x），使不等式

对某个区间[A，+∞）上的一切x成立，则称f（x）是x→+∞过程中的无穷小量，或说当x趋于+∞时f（x）趋于0。记作

或

有了无穷小的概念，极限的概念自然也就产生了。

定义7.4.4　设f（x）在[c，+∞）有定义。如果有实数a，使f（x）－a是x→+∞过程中的无穷小量，则称f（x）当x→+∞时以a为极限，记作

或

现在，我们已引入了函数的无穷大、无穷小以及极限概念。事实上，我们只不过是用x代替了数列里的n罢了。连续变量x和离散变量n有共同点，它们都会趋于+∞；但又有不同点：x还可以趋于0，趋于1，趋于任一实数x0。这样一来，函数极限就比数列极限花样更多。用“ε-语言”讲函数极限，常常要一条一条分别给出各种过程中的极限定义。我们则不用那么麻烦，只要用一下代数式的变换，就足以定义出新的极限过程了。

定义7.4.5　若f（x）在（x0，x0+δ]上有定义（这里δ是某个正数），则

定义为

作变换y＝ pagenumber_ebook=163,pagenumber_book=151 之后，即

定义7.4.6　若f（x）在[x0－δ，x0）上有定义（这里δ是某个正数），则

定义为

作变换y＝之后，即

定义7.4.7　若同时有

则称

这就把函数的极限给出来了。

当然，也可以不依赖左、右单边极限而直接定义函数的双边极限。例如，可以把（7.4.1）式定义为(www.chuimin.cn)

作变换y＝后即

而这里把“y→∞”理解为｜y｜→+∞就可以了。

此外，还可以引入，即

而

同时成立时就说

这比把简单地定义为要更明确、更严格。在极限概念＝a中，x不能取值x0，而f（x）可取值a，这个道理学生往往想不通。因为在一般分析教程中，它是作为一条规定颁布下来的，没有什么理由可讲。但在我们这里，由于是用 pagenumber_ebook=164,pagenumber_book=152 来定义的，x就自然不能取值x0了。否则，分母就出现了0而使表达式失去了意义。