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不使用ε-语言，讨论数列极限|从数学教育到教育数学

2023-10-17 理论教育版权反馈

【摘要】：定义7.3.3设{an}是无穷数列。用“ε-语言”，不仅能够引入极限概念，还能证明与极限有关的一系列基本定理，直接计算一些具体的极限。实践证明确实有效，而且比用“ε-语言”还要简便！[例7.3.1]求证数列是无穷小列。有些微积分的参考资料以此题为例，说明不用“ε-语言”不可能严格地讲微积分。命题7.3.1设{αn}、{βn}为无穷小列，{Ln}为有界数列。

数列，中学里是要讲的，并不难懂。

无穷数列　无非是排好了的一串数：a1，a2，…，an，…对每个自然数n，有一个实数an与它对应，an叫做数列的第n项。

有界数列与无界数列也不难理解。如果有一个正数A比每个｜an｜都大，

就说数列{an}有界。否则，就称之为无界数列。例如，数列

都是有界数列。而

都是无界的。

不减数列　就是满足条件

a1≤a2≤…≤an≤an+1≤…

的数列。直白地说，就是一个比一个大，或至少不减少的数列。例如an＝n，an＝n2，an＝1－等都是不减数列。

数列、无界数列、不减数列，这些是现成的东西，传统教材里都会讲到。用这些现成的东西引入无穷大、无穷小和极限概念，比另起炉灶要方便多了。

定义7.3.1　设{an}是无穷数列。如果有一个无界不减的数列Dn，使对一切n有

｜an｜≥Dn，

则称{an}是无穷大列。记作

或

这个定义很有道理也很好理解。Dn不减而无界，自然算得上是无穷大了。而｜an｜并不比Dn小，岂不应当算是无穷大吗？

无穷大的定义，反过来就是无穷小。

定义7.3.2 设{an}是无穷数列。如果有一个无界不减的恒正数列Dn，使｜an｜≤，则称{an}为无穷小列。

有了无穷小列的概念，引入数列极限概念也不困难了。

定义7.3.3　设{an}是无穷数列。如果有一个实数a和一个无穷小列{an}，使

an＝a+αn，

则称数列{an}以a为极限。记作

或

按定义，无穷小列就是以0为极限的数列。而{an－a}是无穷小列时，则说an以a为极限。

这样，我们就利用比较直观易懂的概念，给极限理论打下了坚实的基础。

用“ε-语言”，不仅能够引入极限概念，还能证明与极限有关的一系列基本定理，直接计算一些具体的极限。我们用“递增无界数列比较法”引入无穷大、无穷小和极限概念，是否也能在证明定理、计算极限时具有同样的效力呢？

实践证明确实有效，而且比用“ε-语言”还要简便！让我们用几个例题对比一下。

[例7.3.1]　求证数列 pagenumber_ebook=157,pagenumber_book=145 是无穷小列。

证明：（1）用“ε-语言”的证法。任给ε＞0，取N＝+1，则当n≥N时， pagenumber_ebook=157,pagenumber_book=145 。按定义，可知数列以0为极限。

（2）用新定义的证法。{n}是无界不减数列而 pagenumber_ebook=157,pagenumber_book=145 ，按定义为无穷小列。

[例7.3.2]　求证数列 pagenumber_ebook=158,pagenumber_book=146 以1为极限。

证明：（1）用“ε-语言”的证法。因n≥1，故 pagenumber_ebook=158,pagenumber_book=146 ≥1，令an＝－1，则an≥0。于是

由于n＞1时 pagenumber_ebook=158,pagenumber_book=146 ，故。对任给的ε＞0，取，则当n≥N时有

按定义知＝1。

（2）用新定义的证法。要证，即证明是无穷小列。仍用（7.3.1）式

当n＞1时，

由于 pagenumber_ebook=158,pagenumber_book=146 是无界不减列，故{an}为无穷小列。(www.chuimin.cn)

明显看出，用不同定义证明时运算的过程是一致的。但在用新定义的证明中，省去了“任给ε＞0，找N”的步骤。

下面的例子是微积分的典型习题。有些微积分的参考资料以此题为例，说明不用“ε-语言”不可能严格地讲微积分。这里我们就用它来说明，不用“ε-语言”不但能严格地讲微积分，而且能更好地解题。

[例7.3.3]　已知{an}以0为极限，

求证：Sn也以0为极限。

证明：（1）用“ε-语言”的证法。任给ε＞0，可以找到N1，当n≥N1时，有｜an｜＜；又可以找到N2，使

然后取N为N1、N2中之较大者，当n≥N时便有

（2）用新定义的证法。因an→0，故有无界不减数列Dn使｜an｜＜＝dn。于是取m＝ pagenumber_ebook=159,pagenumber_book=147 ，便有

这证明了Sn→0。

这种证法，比分两次找N易于掌握。这是因为利用了数列dn的单调性，用代数运算代替了逻辑推理。

使用新定义，不仅可以直接演算一些习题，而且可以用来推导极限的性质。有兴趣的读者，不妨对照一下通常教程里用“ε-语言”所作的相应推导。

命题7.3.1　设{αn}、{βn}为无穷小列，{Ln}为有界数列。则

（1）{Lnαn}为无穷小列；

（2）{αn+βn}和{αn－βn}为无穷小列；

（3）{αnβn}为无穷小列。

证明：（1）按假设有A使｜Ln｜＜A，又有无界不减列Dn使｜αn｜＜，于是｜Lnαn｜＜。因递增无界，故Lnαn→0。

（2）因{αn}、{βn}为无穷小列，故有无界不减列Dn、En，使｜αn｜≤、｜βn｜≤，设

Cn＝min{Dn，En}。

则Cn是无界不减列而

因是无界不减的，故{αn±βn}是无穷小列。

（3）承（2），有

而{DnEn}显然是无界不减的。

命题7.3.2 设αn→α，bn→b，则

（1）（an±bn）→（a±b）；

（2）anbn→ab；

（3）若a≠0，则。

证明：按定义，有an＝a+αn，bn＝b+βn，而{αn}、{βn}都是无穷小列。于是：

（1）an±bn＝（a±b）+（αn±βn），因{αn±βn}为无穷小列，故（an±bn）→（a+b）。

（2）anbn＝（a+αn）（b+βn）

＝ab+αβn+bαn+αnβn。

因αβn，bαn，αnβn都是无穷小列，故αβn+bαn+αnβn也是无穷小列，故anbn→ab。

（3）因an＝a+αn，而有无界不减的Dn，使

故

显然，｜a｜（｜a｜Dn－1）是无界不减列，故 pagenumber_ebook=161,pagenumber_book=149 为无穷小列，即。

同样的命题，用新定义的方法证明起来会比“ε-语言”简单一些。