之所以说十进制并非尽善尽美，我们有更有力的理由：因为还有比十进制记数法更优越的方法。充分利用这5个指头，能造出更好的记数法来。这种记数法的好处，不仅在于少用了6，7，8，9这4个数码，更重要的是运算起来方便。比方说，3.68在新记数法里是，截尾之后得到，恰好是3.7，相当于把3.68最后的8进上去。可见，十进制记数法虽然是一份珍贵的遗产，同时也是沉重的负担。因为世界上已经有太多的人学会了现在通行的十进制记数法。......
2023-10-17
面积与自然对数：从数学教育到教育数学
【摘要】：为底的对数——自然对数。若用曲线y＝下的面积引入自然对数lnx，则显得简单具体、直观性强，而且涉及的基础知识少，还把平面几何、解析几何与高等数学更密切地联系起来了。推论6.3.3对任意λ＞0，有①也可不用压缩变换，直接用求导方法证明sx1＝sλxλ。至此，可以引入自然对数了。定义6.3.2对0＜x＜+∞，记＝lnx，并称函数y＝lnx为x的自然对数。从两个定义及三个推论中，立刻得到自然对数的一系列性质。
在现行高中课本中，提到了以常数e＝2.71828…为底的对数——自然对数。以后，又不加证明地介绍了极限
＝e，初步引进了函数ex、Inx以及其求导法则。这是很有必要的，因为ex和lnx是高等数学中极其重要的一对函数。但是，中学生学到这里，往往觉得e、ex和lnx高深莫测。
若用曲线y＝
下的面积引入自然对数lnx，则显得简单具体、直观性强，而且涉及的基础知识少，还把平面几何、解析几何与高等数学更密切地联系起来了。
定义6.3.1 在笛卡儿坐标系中，曲线y＝
（x＞0）之下x轴之上，直线x＝a和x＝b之间的面积，当b≥a＞0时，记作
，并约定（如图6-12）。
图6-12
推论6.3.1 Saa＝0。
推论6.3.2 Sba+Scb＝Sca。
任取一个正数μ，把全平面沿y轴方向作一个均匀的、比例系数为μ的“压缩”（当μ＞1时实际上是“扩张”），又沿x轴方向作比例系数为
。的“扩张”（当μ＞1时实际上是“压缩”）。这样，一个坐标为（x，y）的点A，变成了坐标为（x′，y′）＝
的点A′。由于xy＝x′y′，所以曲线y＝
的点仍变到此曲线上。
在这种变换下，任一个两边与x、y轴平行的矩形仍变成这样的矩形，而且面积不变。设P1P2P3P4是这样一个矩形，且
P1＝（x1，y1），P2＝（x2，y1），
P3＝（x2，y2），P4＝（x1，y2）。
经变换之后，矩形P1P2P3P4变为矩形P′1P′2P′3P′4，且
原来矩形的面积是｜（x2－x1）（y2－y1）｜，变换之后，矩形的面积是
没有变化。这是因为矩形的长缩小为原来的几分之一，宽就增大到原来的几倍。
利用无限细分、求和、取极限的面积计算原理可知，曲线y＝
之下的每块面积
在（x，y）→
的变换中不变。这时，点（a，0）变为
，（b，0）变为
，而
变为
，故
。
推论6.3.3 对任意λ＞0，有
①也可不用压缩变换，直接用求导方法证明sx1＝sλxλ。即令f（x）＝Sx1，g（x）＝Sλxλ，再证明f（1）＝g（1）＝0，f′（x）＝g′（x）。
这里用λ代替了
。至此，可以引入自然对数了。
定义6.3.2 对0＜x＜+∞，记
＝lnx，并称函数y＝lnx为x的自然对数。
从两个定义及三个推论中，立刻得到自然对数的一系列性质。
命题6.3.1 y＝lnx的基本性质
（1）（乘变加）ln（x1x2）＝lnx1+lnx2。
（2）（递增性）当x1＜x2时，lnx1＜lnx2。
（4）（连续性）
。
（5）（对数函数不等式）
≤ln（1+x）≤x或
（6）（求导法则）（lnx）′＝
。
（7）（值域）当x取遍（0，+∞）时，lnx取遍全体实数。
下面列出证明这些性质的方法：
性质（1）可由定义及推论6.3.3证明。
ln（x1x2）＝
。这里关键的一步是
，这相当于推论6.3.3中取a＝1，b＝x2，而λ＝x1。由性质（1）还可知ln
＝lnx2－lnx（1只要在（1）中取
，可得lny2＝ln y1+
）以及lnxn＝nlnx。
性质（2）、（3）、（4）均由定义得出：
又显然有
故当x1→x2时
→0，这就证明了连续性。
要证明性质（5），当x＞0时，参看图6-13，就一目了然了。
图中阴影部分面积是ln（1+x），小于矩形ABCD的面积1·x＝x，大于矩形ABFE的面积x·
，即不等式（5）成立。当x＜0时，不等式
可由
(www.chuimin.cn)
图6-13
导出。
性质（6）可由性质（1）与（5）导出。按导数定义，
当h＞0时，由（5）得
当h＜0时，由（5）得
令h→0取极限即得
性质（7）可由连续性及lnan＝nlna推出。当a＞1时，
可见lnx取遍（－∞，+∞）的值。
由递增性与连续性知，lnx有唯一的反函数E（x），且E（x）连续递增。因为lnx定义于（0，+∞）而值域为（－∞，+∞），故E（x）定义于（－∞，+∞）而取值于（0，+∞）。又由反函数求导法则可知
（E（x））′＝E（x）。
现在引入记号E（1）＝e，我们指出，E（x）恰巧就是指数函数ex。
首先，若设y1＝lnx1，y2＝lnx2，则
最后两步是根据反函数的定义得来的。
因为y1、y2是任意的，可得
取x＝1，得E（n）＝（E（1））n＝en；又取x＝
，得E
；取x＝
，得
。可见对一切正分数x有E（x）＝ex，又因ln1＝0得E（0）＝1，故
E（x）E（－x）＝E（x－x）＝E（0）＝1，
即得
E（x）＝（E（－x））－1。
当x为负分数时也有
E（x）＝（E（－x））－1＝（e－x）－1＝ex。
总之，对一切有理数有E（x）＝ex。根据连续性可知E（x）＝ex对一切实数x成立。
最后，我们来看看e是什么？
由y＝lnx的基本性质（5）
取x＝
，则当A＞0时有
同用A乘，得
同取E（x）的值得
令A→+∞，两边的极限都是E（1），故
这就是目前中学课本中略去了证明的那个重要极限等式。
回顾整个推导过程，除了面积大小的比较之外，并没有用到更多的东西。这似乎比先引入e、ex，再引入lnx要直观浅显得多。这里又一次展示了面积法在数学教学中的重要作用。
微积分里有两类重要函数：三角函数与反三角函数、对数函数与指数函数，它们都可以从面积出发引出来。
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