面积与轨迹关联，丰富几何集合思想

2023-10-17 理论教育版权反馈

【摘要】：如果我们把面积与轨迹联系起来，分析一些与面积有关的轨迹问题，就能较丰富地体现集合概念，使集合思想更多地渗入平面几何之中。[例6.1.1]设A、B、C、D4点在一条直线上，试求平面上满足条件△PAB＝△PCD的点P的轨迹。[例6.1.5]若ABCD是平行四边形，a是给定的正数，求平面上满足条件△PAB+△PCD＝a的点P的轨迹。解：分三种情形：若ABCD面积大于2a，所求轨迹是空集。

在平面几何教材中，“轨迹”被定义为“平面上满足一定条件的点的集合”。可是初中生接触到的轨迹，往往是一条直线、两条直线、圆、圆弧，没有充分表现出“集合”概念的丰富内涵。如果我们把面积与轨迹联系起来，分析一些与面积有关的轨迹问题，就能较丰富地体现集合概念，使集合思想更多地渗入平面几何之中。

[例6.1.1]　设A、B、C、D4点在一条直线上，试求平面上满足条件

△PAB＝△PCD

的点P的轨迹。

解：有两种情形：

（1）若AB＝CD，则平面上每一点都满足条件，因此所求的轨迹是全平面。

这里我们承认了共线三点也可以形成三角形，即退化的三角形。若不然，所求轨迹就是去掉了一条直线的全平面。

（2）若AB≠CD，则当P不在直线AB（或说直线CD）上时，是无法满足条件的。当P在这条直线上时，△PAB＝△PCD＝0。因而所求轨迹是A、B、C、D所在的直线。

[例6.1.2]　设ABCD是等腰梯形，AB、CD是梯形两腰，求平面上满足条件

△PAB＝△PCD

的点P的轨迹。

解：分两种情形：

（1）若AB∥CD，所求轨迹是梯形两底中点所确定的直线（若定义梯形时排除两腰平行的情况，则此条无效）。

（2）若直线AB、CD交于O，则所求轨迹除了梯形两底中点连线之外，还包括过点O与梯形之底平行的直线。也就是说：所求轨迹是直线AB、CD交成的一对对顶角的两条角平分线。理由从下文可以看出。

[例6.1.3]　设A、B决定一条直线l1，C、D决定另一直线l2，l1与l2交于O。求平面上满足条件

△PAB＝△PCD

的点P的轨迹。

解：如图6-1，在直线AB上取E、F，使O为EF的中点，且EO＝FO＝AB。再在直线CD上取G、H，使O为GH的中点，且GO＝HO＝CD。则四边形EGFH为平行四边形。设EG、GF、FH、HE4条边的中点顺次为M、S、N、R。我们断言：所求的轨迹就是直线MN和直线RS。

先证轨迹的纯粹性。注意，当线段CD在直线HG上“滑动”时，对固定的任一点P，面积△PCD是不变的。同样的，线段AB在直线EF上滑动时，△PAB也不变。于是

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图6-1

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当P在直线RS上时，由共边比例定理知

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当P在直线MN上时，同理

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这表明直线RS和直线MN上的点都在轨迹上。

再证轨迹的完备性。若Q不在直线MN或RS上，不妨设Q是∠ROE内的任一点，连OQ交RE于T，则TE＜RE＝HR＜HT。由共边比例定理

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可见Q不在轨迹上。

[例6.1.4]　设A、B、C、D都在直线l上，a是给定的正数，求平面上满足条件

△PAB+△PCD＝a

的点P的轨迹。

解：有两种情形：

（1）若A与B重合，且C与D重合，则对平面上任一点P总有△PAB+△PCD＝0＜a，故所求轨迹是空集。

（2）若AB+CD＞0，则所求轨迹显然是与直线l平行、且到l的距离为

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的两条直线。

[例6.1.5]　若ABCD是平行四边形，a是给定的正数，求平面上满足条件

△PAB+△PCD＝a

的点P的轨迹。

解：分三种情形：

（1）若▱ABCD面积大于2a，所求轨迹是空集。

（2）若▱ABCD面积等于2a，如图6-2（1），所求轨迹是直线AB与CD所夹的条形区域（含直线AB、CD）。

（3）若▱ABCD面积小于2a，如图6-2（2），所求轨迹是与AB平行的两条直线l1、l2。l1与l2分居于AB、CD所夹条形区域的两侧，到条形区域边界距离为

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图6-2

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这里d是AB到CD的距离。

轨迹（2）与（3）的证明从略。

[例6.1.6]　设ABCD是平行四边形，求平面上满足条件

△PAB+△PBC+△PCD+△PDA＝a(www.chuimin.cn)

的点P的轨迹。这里a是一个给定的正数。

解：分三种情形：

（1）若▱ABCD面积大于a，所求轨迹是空集。

（2）若▱ABCD面积等于a，所求轨迹是平行四边形内和周界上的所有的点。

（3）若▱ABCD面积小于a，所求轨迹是如图6-3所示的包围了▱ABCD的八边形。设▱ABCD面积为S，AB到CD距离为d1，AD到BC距离为d2，则图中确定八边形的参数h1、h2如下：

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图6-3

这是因为P（当P在DC外侧时）应当满足

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之故，详细证明从略。

[例6.1.7]　设l1、l2两直线相交于O。在l1上取两点A、B，在l2上取两点C、D。设a是任意给定的正数，求满足条件

△PAB+△PCD＝a

的点P的轨迹。

解：如图6-4，在l1上取E、F，使△EDC＝△FDC＝a。在l2上取G、H，使△GAB＝△HAB＝a。显然O是EF的中点，也是GH的中点。于是，四边形EGFH为平行四边形。