[例4.4.1]试证明在△ABC中，若∠A＝∠B，则a＝b。用面积公式代入：由AB＝AC，即得sinα＞sinβ。[例4.4.3]在△ABC中，已知a＞b，求证：∠A＞∠B。由式得a＝b，这与假设a＞b矛盾。图4-22[例4.4.4]如图4-22，设△ABC中∠A的平分线为AP，求证：。[例4.4.6]已知△ABC中的∠A和b、c两边，求∠A的角平分线长。可见在AP⊥BC时取到最大值。由AB＝CD，得sin∠APE＝sin∠DQE。......
2023-10-17
实用性与应用：张角公式在数学教育中的价值
【摘要】：下面我们将举出一些例题，它们会极有力地表明张角公式的广泛用途。由正弦定理可知代入张角公式得再利用τ＝β+γ，即得要证等式。下面举出恒等式的一个应用。[例5.6.4]设在正△ABC外接圆的上任取一点P，PA交BC于D。证明：如图5-49，∠α＝∠β＝60°，由张角公式得因为sin120°＝sin60°，即得所求。[例5.6.6]设直角三角形ABC斜边AB上的高为CD，求证：图5-51证明：如图5-51，由张角公式可得又sin（α+β）＝sin90°＝1，代入，即得所求。
在第4小节里，我们介绍过一个“张角公式”：由P发出的三条射线PA、PB、PC，使∠APC＝α，∠CPB＝β，∠APB＝α+β＜180°（如图5-46），则A、B、C3点共线的充要条件是
图5-46
当时就说这是一个到处用得上的解题工具，但直到现在，除了用它导出正弦加法定理之外，就再没有用过。下面我们将举出一些例题，它们会极有力地表明张角公式的广泛用途。
[例5.6.1] 设4个角α+β+γ+δ＝180°，求证：
证明：在图5-46中，取∠PAB＝δ，∠PBA＝γ，∠PCA＝τ。由正弦定理可知
代入张角公式得
再利用τ＝β+γ，即得要证等式。
下面举出恒等式（5.6.1）的一个应用。
[例5.6.2] （托勒密定理）设四边形ABCD是圆内接四边形，求证：AC·BD＝AB·CD+AD·BC。 （5.6.2）
证明：如图5-47，设圆的直径为d，过A作圆的切线，切线与AB、AD所夹角分别记为α、δ，又令∠BAC＝β、∠CAD＝γ，于是AB＝dsinα，BC＝dsin β，CD＝dsinγ，AD＝dsinδ，AC＝dsin（α+β），BD＝dsin（γ+β）。代入（5.6.2）式，可知要证的等式等价于
d2sin（α+β）sin（β+γ）＝d2（sinα·sinγ+sinβ·sinδ），
即前例所证得的（5.6.1）式。
图5-47
图5-48
[例5.6.3] （蝴蝶定理的又一证明）已知圆O的弦AB中点为M，过M任作两弦CD、EF，连接CF、DE分别交AB于G、H。求证：MG＝MH。
证明：如图5-48，用张角公式得
（1）－（2）得
设P、Q分别是CD、EF中点，显然有
把（4）代入（3），并用MF·ME＝MD·MC，得到
即知
MH＝MG。
[例5.6.4] 设在正△ABC外接圆的
上任取一点P，PA交BC于D。求证：
。
证明：如图5-49，∠α＝∠β＝60°，由张角公式得
因为sin120°＝sin60°，即得所求。
图5-49
图5-50
[例5.6.5] 如图5-50，梯形ABCD的两腰AD、BC延长后交于M，两对角线相交于N，又设E、F分别是AB、CD的中点。求证：M、N、E、F在一条直线上。
证明：把命题转换一下，设直线MN分别交AB、CD于两点E、F，只要证明E、F分别是AB、CD的中点即可。
设∠BAC＝β，∠CAM＝α，AE＝e，AN＝n，AM＝m，AC＝c，AB＝b，AD＝d。由张角公式得：
又由
得
（1）+（2）－（3）－（4）得
即b＝2e，亦即E为AB中点。于是
即F是DC中点。
这个命题也可以用共边比例定理来证明：
同样证明了AE＝BE。
[例5.6.6] 设直角三角形ABC斜边AB上的高为CD，求证：
图5-51
证明：如图5-51，由张角公式可得
又
sin（α+β）＝sin90°＝1，
代入（1），即得所求。
[例5.6.7] 如图5-52，过∠P平分线上一点F，任作两直线AD、BC，分别与∠P的两边相交于A、D和C、B。求证：
(www.chuimin.cn)
图5-52
证明：由张角公式知
（1）－（2）得
约去sinα，利用PA－PC＝AC，PB－PD＝BD，整理后即得要证等式。
[例5.6.8] 如图5-53，设PA、PB是圆的两条切线。在线段PB上取一点D，延长PA至C，使AC＝BD，连CD交AB于E。求证：CE＝DE。
图5-53
证明：设∠APE＝α，∠BPE＝β，由张角公式得
（1）－（2）得
即
由BD＝AC，PA＝PB得
PCsinα＝PDsinβ，
从而
此题也可以用共边比例定理来做，方法如下：
或
一般说来，使用共边比例定理证题，往往比较简捷。
图5-54
[例5.6.9] 如图5-54，G是△ABC之重心，即3条中线的交点。过G作直线分别交AB、AC于D、E，求证：GE≤2GD。
证明：设△ABC的3条中线是AL、BM、CN，则D、E分别在线段BN、MC上。记∠CGE＝∠DGN＝α，∠MGE＝∠BGD＝β，由张角公式得
又BG＝2MG，CG＝2NG，将（1）除以（2）得
若用共边比例定理，此题做法为
或
图5-55
[例5.6.10] 如图5-55，正三角形ABC内接于圆O，点D、E分别为
中点。在
上任取一点P，连接PD、PE分别交AB、AC于F、G。求证：F、G、O共线。
证明：根据张角公式，只要证明
就可以了。
设∠APO＝α，圆O的直径2PO＝d，则
又由张角关系得
而PC＝dsin（30°+α），PA＝dcosα，代入（3）得
同理得
把（4）、（5）代入（2），得
由（6）与（1），即知G、D、F共线。
此题也可以从射线AF、AO、AG出发考虑。为证F、O、G共线，只要证明
即
而
即
同理
把（2）、（3）代入（1），即可验证所要证明结论。
【注释】
[1]后来作者想到一个更简单的证明：在直线AB上取一点N，使MN＝AB，则
。这个证法适用于图5-5的四种情形。
[2]当然，MN∥AB的定义如常——直线MN与直线AB无公共点。
[3]前苏联A.H.柯尔莫哥洛夫在他主编的中学几何教材中，提出过基于实数、集合、距离等概念的几何公理体系。
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