前面引入的新体系，逻辑结构图示见下页。
这里，我们还少一个公理系统。
欧氏几何的公理体系不止一种。欧几里得最早提出的公理体系是不严密的，现在大家所用的是由希尔伯特改进之后的公理系统，共5组20条。后来，又有人提出过欧氏几何的其他公理体系。例如1984年，前苏联著名几何学家A.D.亚历山大洛夫在一篇文章里提出过新的几何公理系统，其特点是在公理中只有线段和点而无直线。
近代数学中，还有基于向量空间的外尔公理体系、基于距离概念的布鲁门塞尔公理体系等。
但是，所有这些公理体系，没有一个是着眼于中学数学教育而创立的[3]。我们提出的下列公理体系，主要是为了数学教育而创设，特别是为了中学数学教育的需要。它支持面积法的新体系。
这个新公理体系，是以度量为主体的公理体系。在这个系统中，所谓平面，是由一些名叫“点”的元素组成的集合。这些点之间的关系满足以下公理。
（1）（距离公理）两点A、B决定一个距离｜AB｜，｜AB｜是非负实数。｜AB｜＝｜BA｜，且｜AB｜＝0当且仅当A＝B时成立。
（2）（线段连续公理）若A、B是不同的两点，则对任给的非负实数r，有唯一的一个点P，使得下列两条件同时成立（如图5-39）。
①｜AP｜＝r。
②当r≤｜AB｜时，有｜AP｜+｜PB｜＝｜AB｜；当r＞｜AB｜时，有｜AB｜+｜BP｜＝｜AP｜。
图5-39
以下为了表达起来方便，引入线段、延长线、射线、直线等概念。
线段的定义 设A、B是任意两个点，一切满足条件｜AP｜+｜PB｜＝｜AB｜的点P组成的集合称为线段AB。（注意，线段AB和线段的长度｜AB｜在不会混淆时，都可以记作AB。）点A、B都叫做AB的端点。当A＝B时，说线段AB退化为一点（图5-39中r≤｜AB｜的情形）。
延长线的定义 设A、B是不同的两点，一切满足条件｜AB｜+｜BP｜＝｜AP｜的点P组成的集合，叫做AB（在B侧）的延长线。一切满足条件｜BA｜+｜AP｜＝｜BP｜的点P组成的集合，叫做BA（在A侧）的延长线（如图5-40）。定义中写在括号内的词可省略。
图5-40
射线的定义 设A、B是不同的两点，线段AB和AB（在B侧）的延长线的并集，叫做以A为端点沿AB方向的射线。
直线的定义 设A、B是不同的两点，AB（在B侧）的延长线、BA（在A侧）的延长线和AB的并集，叫做由AB确定的一条直线，也称为直线AB。
换言之，点P在直线AB上的充要条件是下列三式之一成立。
或者合起来说
（BA+AP－BP）（AB+BP－AP）（AP+PB－AB）＝0。
下面继续介绍我们的公理：
（3）（面积公理） 三点A、B、C决定一个面积｜△ABC｜，｜△ABC｜是一个非负实数，且｜△ABC｜＝｜△ACB｜＝｜△BAC｜＝｜△BCA｜＝｜△CAB｜＝｜△CBA｜。当A、B、C不在同一条直线上时，｜△ABC｜＞0。
（4）（非退化公理） 平面上至少有三个点A、B、C使｜△ABC｜＞0。
（5）（线性公理） 若A、B、C三点在一条直线上，AB＝λAC，P是平面上任一点（如图5-41），则｜△PAB｜＝λ｜△PAC｜。
公理（5）是我们系统中一条主要的公理，即本章开始提到的基本命题。它实际上是说：同高三角形面积之比等于底之比。但表面上，公理（5）既没有提到高，也没有提到三角形。事实上，我们只定义了｜△ABC｜，并没有定义△ABC。
图5-41
（6）平面上四点A、B、C、D，如果三对线段AB与CD、AC与BD、AD与BC中，每一对都没有异于A、B、C、D的公共点，则四个面积｜△ABC｜、｜△ABD｜、｜△ACD｜、｜△BCD｜中必有一个等于另外三个之和。例如图5－42左图中的AC、BD有异于A、B、C、D的公共点，不符合题意；而右图符合题意，故有
｜△ABC｜＝｜△ACD｜+｜△ABD｜+｜△BCD｜。
公理（6）刻画了平面的一个重要特征。有了公理（6），我们就可以定义三角形、凸四边形和凹四边形了。
图5-42
三角形的定义 对于给定的三个点A、B、C，所有满足条件
｜△PAB｜+｜△PBC｜+｜△PCA｜＝｜△ABC｜＞0
的点P组成的集合，叫做三角形ABC，记作△ABC。若上式的左端每项都不是0，则称点P是△ABC的内点；否则，叫做△ABC的边界点。平面上其他点叫做△ABC的外点。点A、B、C叫做△ABC的顶点。线段AB、BC、CA叫做△ABC的三条边。
在不至于引起混淆时，我们也用记号△ABC表示｜△ABC｜。
当｜△ABC｜＝0时，线段AB、BC、CA之并称为退化△ABC。一般所说的△ABC，均指非退化的三角形。
凸四边形的定义 若线段AC和BD有异于A、B、C、D的公共点P，则称△ABC和△ACD之并为凸四边形ABCD（或BCDA、CDAB、DABC）。AC、BD叫做凸四边形的两条对角线。AB、BC、CD、DA叫做凸四边形的四条边。
为了证明此定义的合理性，应当指出：△ABC与△ACD之并和△BDA与△BDC之并是同一个集合。这在直观上是显然的，证起来也不难：只要先把四边形分成△PAB、△PBC、△PCD、△PDA就可以了。
凹四边形的定义 若D在△ABC内部，则称△ABD和△BDC之并为凹四边形ABCD。线段AC、BD叫做凹四边形的对角线，而AB、CB、CD、DA叫做凹四边形的四条边。
（7）若P是△ABC的内点而Q是△ABC的外点，则线段PQ上必有△ABC的边界点。
下面，我们进一步引入角度这个重要度量。
（8）（角度公理） 以任一点A为公共端点的两条射线组成一个角，记作∠A，或临时指定一个记号如∠1、∠2、∠α或α、β。也可以分别在两射线上各取一点P、Q（均不同于A），记此角为∠PAQ或∠QAP。每个角对应一个非负实数α（0°≤α≤180°），叫做这个角的度数。记号∠PAQ（或∠A、∠QAP、∠1）同时用以表示它的度数，记作∠PAQ＝α。当射线AQ与AP是同一条射线时，∠PAQ＝0。当A在线段PQ上时，∠PAQ＝180。（如图5-43）。(www.chuimin.cn)
图5-43
（9）若∠PAQ＝180°，B是异于A的点，则有∠BAQ+∠BAP＝180°，这时称∠BAQ和∠BAP互为邻补角。若∠PAQ＜180°而且B在线段PQ上，则有∠BAQ+∠BAP＝∠QAP。并且当∠QAP＞0°时，对任意实数0≤λ≤1，在PQ上有唯一的一个点B，使∠BAP＝λ∠QAP（如图5-44）。
图5-44
（10）若∠PAQ＝∠P′A′Q′，且PA＝P′A′，QA＝Q′A′，则△PAQ＝△P′A′Q′。
最后这两条公理，把角度与线段、角度与面积联系起来了。
这10条公理是我们讨论的出发点。10条公理中的多数，如（1）、（2）、（3）、（6）、（7）、（8）、（9），都是现行教材中既不叙述、也不证明而实际上默认了的。（5）虽不显然，却是学过小学数学的孩子易于理解的。事实上，（5）刻画了欧几里得平面的特点，相当于平行公理。如果没有它，也不用适当的东西代替它，我们就只能得到非欧几何了。
一些众所周知的有关面积的性质，很容易用这些公理推证出来。例如：
命题5.5.1 若A、B、C3点共线，则有△ABC＝0。
证明：不妨设AB＝λAC，则由公理（5）得
△ABC＝λ△ACC。
CC＝2CC（＝0），故又由公理（5）得
△ACC＝2△ACC。
故△ACC＝0，即△ABC＝0。
命题5.5.2 若P在线段AB上，则对任一点Q，有
△QAB＝△QAP+△QBP。
证明：设AP＝λAB，由AP+PB＝AB，可得PB＝（1－λ）AB。由公理（5）得
两式相加，即得所求等式。
命题5.5.3 若C在直线AB上，C异于A，则直线AC和直线AB相同。
证明：只要证明直线AC上任一点P在直线AB上，同时直线AB上任一点Q也在直线AC上就可以了。
设P在直线AC上，则△PAC＝0。设
AB＝λAC，
由公理（5）得
△PAB＝λ△PAC＝0，
再由公理（3）可知P在AB上。同理，由Q在直线AB上可推知Q在直线AC上。
这个命题的含义正是“两点决定一直线”。它在欧几里得的公理体系中是一条公理。
有一些看来很显然的事实，在目前通用的教材体系中是不好证明的，常常只能默认。下面是一个例子。
命题5.5.4 设P是△ABC的边AB上的一点，P异于A、B。又Q是PC线段上异于P、C的一点，则Q在△ABC内部。
图5-45
证明：如图5-45，由命题5.5.2得
因为P不同于A、B，故△PAC、△PBC均非0。又因Q不同于P、C，故△QAC、△QAP、△QBC、△QPB均非0。由三角形定义可知Q在△ABC内。
引进了公理系统，是不是在课堂上就要把它作为平面几何学习的开端呢？大可不必。从公理系统入手讲几何，就像学骑自行车先学上车一样。骑自行车本来先要上车，但学骑车时可以先请别人扶着、爬上车学前进，学会了蹬车前进，回过头来学上车是容易的。
从历史上看，几何公理体系是在积累了大量几何知识之后诞生的。逻辑上，应是先有公理，后有丰富多彩的定理和公式。可人的认识过程恰恰相反，是先掌握了大量的定理，然后，为了彻底弄清这个定理的依据，才想到了建立公理体系。
给初中生教几何，似乎应当遵循认识的顺序，而不完全依照逻辑的顺序；也就是先带他们欣赏五光十色的几何园地，再告诉他们这个园地的基石在何处。这样，既符合认识规律，也适应年龄特征。所以，我们在给初中生讲几何时，开始不但不必列出公理，就连命题5.5.1至命题5.5.4这些显然的几何事实，也不必一板一眼地去证。其实，通常的中学几何教材也不十分强调严密性。等学生有了较多的几何知识，对几何有了感情，再回过头来进行严密化的工作是容易的。
具体地说，我们列出的公理不过是“立此存照”，表明以面积为中心的体系有自己的逻辑基础。几何教学逻辑上的出发点，明确指出的只有公理（5），其他的仅作为直观的事实应用而已。
至于这个公理系统的协调性、独立性与完备性的研究，就不属于本书的任务了。
应当提一提的是，我们提供的改革方案，是一套富有弹性的改革方案。教师们可以根据自己的见解和学生的水平，在不同层次上吸取这些资料。
至少，可以吸取这里提供的解题方法与技巧而不采纳推理体系，这是最容易采取的步骤。事实上，面积方法近年来已经受到广大中学数学教师的重视和中学生的喜爱。
进一步，可以采用这里提供的推理体系而不接受公理系统。因为我们的推理体系可以在旧的公理系统内回旋，只要集中力量，先推出三角形面积等于底乘高的一半。
更彻底的是采纳这个公理体系，或建立与此类似的公理体系。
传统的力量是强大的，任何改革都会遇到许多困难。假使新体系能被接受，也需要一个相当长的过程。
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