汪曾祺的两个年代及其他一、《邂逅集》光芒难掩祖籍安徽，但出生于江苏高邮，作品也多以高邮为背景的汪曾祺，青年时代就读于抗战时期最高学府“西南联大”中国文学系，亲聆梅贻琦、刘文典、杨振声、朱自清、罗常培、冯友兰、闻一多、金岳霖、吴宓、唐兰等名师教诲①，小说创作更得沈从文悉心指导，和略早成名的穆旦及另外三位后来所谓“九叶诗人”一样，是“联大”八年在文学创作上结出的硕果。......
2024-01-11
两个定理的广泛应用及其成果
【摘要】：图5-7[例5.3.1]如图5-7，四边形ABCD的对角线AC、BD交于M。[例5.3.2]如图5-8，△ABC的两中线AD、BE交于M，求证：AM＝2MD。求证：图5-9证明：由共边定理[例5.3.4]在例题5.3.3条件下，求证：证明：由共边定理三式相乘，即得[例5.3.5]如图5-10，在△ABC的两边AB、AC上分别取两点P、Q。[例5.3.7]如图5-12，在△ABC的3边上分别取3点D、E、F，使BD＝λCD，CE＝μAE，AF＝ρBF。
表面上看，共边定理与共角定理过于平凡，很难想象它们有多大的用处。因此，在逻辑上继续向前发展之前，有必要用解题实例来表明它们的非凡功效。下面所举例题的解法，很多是仅仅用到这两条定理，还有一些会辅以其他简单的几何命题，例如三角形内角和定理、圆周角定理。晚些时候我们还会看到：三角形内角和定理可由共边定理与共角定理导出；而圆周角定理，则是圆的定义和内角和定理的推论。
图5-7
[例5.3.1] 如图5-7，四边形ABCD的对角线AC、BD交于M。已知△ABC＝△ADC，△ABD＝△CBD，求证：M是AC、BD的中点，且△MAB＝△MBC＝△MCD＝△MDA。
证明：用共边定理及题设
这就证明了AC与BD相互平分。再用共边定理得
即△MAB＝△MBC。其余可类似证明。
这里，实际上已证明了“平行四边形对角线互相平分”。
[例5.3.2] 如图5-8，△ABC的两中线AD、BE交于M，求证：AM＝2MD。
图5-8
证明：由共边定理及题设条件可知
即得要证等式。
这实际上证明了“三角形三中线交于一点”。这种证法既简单，需要的预备知识又少。
[例5.3.3] 如图5-9，在△ABC内任取一点P，连接AP、BP、CP并延长，分别交对边于D、E、F。求证：
图5-9
证明：由共边定理
[例5.3.4] 在例题5.3.3条件下，求证：
证明：由共边定理
三式相乘，即得
[例5.3.5] 如图5-10，在△ABC的两边AB、AC上分别取两点P、Q。已知
，设PC与BQ交于M，求
的值。
解：由共边定理，
若不用共边定理，此题就颇为棘手。
图5-10
图5-11
[例5.3.6] 如图5-11，在△ABC的3边BC、CA、AB上，分别取3点D、E、F。已知
，求证：直线AD、BE、CF交于一点。
证明：设
。CF与BE交于M，AD与BE交于M′，由例题5.3.5的结论可知
由题设λμρ＝1知λμ＝
，于是
可见M与M′重合，即三线共点。
[例5.3.7] 如图5-12，在△ABC的3边上分别取3点D、E、F，使BD＝λCD，CE＝μAE，AF＝ρBF。连接AD、BE、CF，分别交于P、Q、R。求△PQR的面积。
图5-12
解：设△ABC＝S，由
可得
同理
于是可以求得
这个题目的一种特殊情况颇为有趣，当D、E、F是3边的3等分点，即λ＝μ＝ρ＝2（或
）时，△PQR恰为△ABC的
。
[例5.3.8] 如图5-13，若P、Q两点在直线AB的同侧（即线段不与直线AB相交），R在线段PQ上，PR＝λPQ，试证明：
图5-13
证明：设四边形PQBA面积为S，则
把（2）、（3）代入（1）得
例题5.3.8又是一个很有用的命题，它可立刻推出
[例5.3.9] 设线段MN不与直线AB相交，则MN∥AB的充分必要条件是△MAB＝△NAB。[2]
证明：不妨设△MAB≥△MAB。
充分性：用反证法。设MN与AB不平行，MN延长后交AB于L（如图5-14）。
图5-14
由共边定理，
，与△MAB＝△MAB矛盾，这证明了MN∥AB。
必要性：由假设△MAB≥△NAB，下证△MAB＞△NAB不可能。因为若△MAB＞△MAB，则直线MN与AB必相交。事实上，对于MN延长线上任一点P，记λ＝
，由例5.3.8可知
△NAB＝λ△PAB+（1－λ）△MAB。
取λ＝1－
（因△NAB＜△MAB，故这是可能的）代入上式，可得△PAB＝0，即直线AB与MN交于P。这与AB∥MN矛盾，所以△MAB＞△NAB不可能，即△MAB＝△NAB。
[例5.3.10] 如图5-15，ABCD为凸四边形，在AB、BC、CD、DA边上顺次取F、G、H、E，使
＝λ，
＝μ，GE与FH交于P。求证：
＝μ。
图5-15
证明：
于是由例题5.3.8得：
即可由共边定理推得
同理可证
[例5.3.11] 如图5-16，在△ABC的两边AB、AC上分别取两点R、Q，直线RQ交BC的延长线于P。求证：
证明：由共边定理知
三式连乘，即得所要证明的结论。
图5-16
图5-17
[例5.3.12] 如图5-17，凸四边形ABCD的两边AB、DC延长后交于L，CB、DA延长后交于K。对角线AC、BD的延长线分别交直线KL于G、F。求证：LF∶KF＝LG∶KG。
证明：由共边定理得
上面所举的例子都属于共边定理的应用。从下面的例题中我们可以看出，共角定理在解题过程中表现也不逊色。(www.chuimin.cn)
[例5.3.13] △ABC中∠B＝∠C，求证：AB＝AC。
证明：因△BAC与△CBA为共角三角形，故
这个证法妙在把同一个三角形看成两个！这是此命题所用预备知识最少的简单证法。
[例5.3.14] 在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，求证：
。
证明：由内角和定理得∠C＝∠C′，再用共角定理得
约简后即得所要证明的等式。
项武义教授在《几何学的源起与发展》一书中称上列命题为“相似形基本定理”，用若干页的篇幅阐述了这一定理的传统证法，而我们用面积方法，随便就得到了它！
[例5.3.15] 设AD是△ABC中∠A的平分线，求证：
证明：因为△ADC和△ADB是共角三角形，故
[例5.3.16] 如图5-18，在△ABC的AB和AC边上分别取点D、E，使AD＝AE。又设M是BC的中点，AM与DE交于N。求证：
。
图5-18
证明：由共角定理
（1）÷（2），并注意到BM＝MC，AD＝AE，△ACM＝△ABM得
此题也可用共边定理来做：
[例5.3.17] 如图5-19，自P点作四条射线PA、PB、PC、PD，使A、B、C、D在直线l1上，而直线l2与这四条射线顺次交于A′、B′、C′、D′。求证：
。
图5-19
证明：由共角定理
重排（1）的左端得
比较（1）与（2）得
即得要证等式。
[例5.3.18] 如图5-20，在△ABC的边AB、BC、CA上分别取M、K、L。求证：△AML、△BMK、△CKL中至少有一个面积不大于
△ABC。
图5-20
证明：设AM＝λAB，BK＝μBC，CL＝ρCA，则BM＝（1－λ）AB，CK＝（1－μ）BC，AL＝（1－ρ）AC。
由共角定理
类似地
（1）×（2）×（3）得
这个结论的推导是简单的，根据
便知左端3个因式中至少有一个不大于
。
[例5.3.19] 如图5-21，设AM是△ABC在BC边上的中线，任做一条直线分别交AB、AC、AM于P、Q、N。求证：
成等差数列。
图5-21
证明：用共角定理
（1）+（2），并注意到
得
由（3）解出
这和要证的结论等价。
[例5.3.20] 如图5-22，在凸四边形ABCD中，已知AB＝CD，E、F分别是AD、BC的中点。延长BA、CD，分别交EF的延长线于P、Q。求证：PA＝QD。
图5-22
证明：根据共角定理可得下列等式：
（1）×（2）×（3）×（4）得
记l＝AB＝CD，由（5）得
化简即得PA＝QD。
此题用共边定理解法如下：
此即上列（5）式，由它可得BP＝CQ（用AB＝CD）。
[例5.3.21] 如图5-23，设圆内两弦AB、CD交于P，求证：PA·PB＝PC·PD。
图5-23
证明：用共角定理
约简后即得
，亦即PA·PB＝PC·PD。
当然，这个命题也可用相似三角形来证。但用共角三角形证明，不仅减少了中间推理（建立相似三角形判定法），而且避免了辨别相似三角形对应边的麻烦。
[例5.3.22] （蝴蝶定理）如图5-24，设圆内的弦AB的中点为M，过M任作两弦CD、EF。连CE、DF，分别交AB于G、H。求证：MG＝MH。
证明：把图中所标出的4个三角形循环相比、连乘，再用共角定理及例5.3.21的结论：
图5-24
设MA＝MB＝a，MH＝x，MG＝y，则GA＝a－y，GB＝a+y，HB＝ax，HA＝a+x，则（1）式可改写成
化简（2）式，得a2x2＝a2y2，即x＝y，也就是MG＝MH。
蝴蝶定理的另一种面积证法更为直接：
可见
即
从而得到
MG＝MH。
蝴蝶定理是初等几何著名难题之一，利用共角定理证明，不仅简单明了，还不用作辅助线。这一证法把共角定理的作用发挥得淋漓尽致，充分体现了面积法的攻坚能力。
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