共边三角形与共角三角形—详解与比较

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：全等三角形和相似三角形的研究是重要的，因为它与运动、相似这些几何变换密切相关。但作为解题的基本工具，全等三角形与相似三角形的方法就暴露出明显的不足。我们着眼于那些任何几何图形中都会出现的三角形对，这就是“共边三角形”和“共角三角形”。两个三角形如果有一条公共边，我们就说这两个三角形是共边三角形。这样有一组对应角相等或互补的一对三角形，叫做共角三角形。

数学的心脏是问题，学了数学，就要能解题。

“工欲善其事，必先利其器”，要想学会解题，就要先掌握解题的工具。

平面几何图形的基本单元是三角形。解题工具当然离不开对三角形的研究。欧几里得把注意力集中在特殊的三角形上：当考虑一个三角形时，着重研究了直角三角形、等腰三角形；当考虑一对三角形时，着重研究了全等三角形和相似三角形。

全等三角形和相似三角形的研究是重要的，因为它与运动、相似这些几何变换密切相关。但作为解题的基本工具，全等三角形与相似三角形的方法就暴露出明显的不足。

一个重要的事实是：随便画一个几何图形，这里面往往没有全等三角形或相似三角形。为了使“全等”、“相似”有用武之地，就要作辅助线。但如何作辅助线，则“法无定法”。几何好学做题难，原因与此有关！

我们着眼于那些任何几何图形中都会出现的三角形对，这就是“共边三角形”和“共角三角形”。

这两种三角形对是名不见经传的。欧几里得以来的几何学家们从来没有给它们以足够的重视。但是，从数学教育界的角度看，它们是顶顶重要的。

两个三角形如果有一条公共边，我们就说这两个三角形是共边三角形。共边三角形在几何图形里到处都是。平面上随便点四个点A、B、C、D，连六条直线，便有许多对共边三角形（如图5-4）：△ABC与△ABD，△ADB与△ADC，△ACB与△ACD，△BCA与△BCD，△BDA与△BDC，△CDA与△CDB……

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图5-4

在图5-4（1）中，△PAD和△PBC虽不是共边三角形，但它们也有共同点——∠APD＝∠BPC。这样有一组对应角相等或互补的一对三角形，叫做共角三角形。在图5-4（1）中出现了许多对共角三角形，如△PAB与△PDC，△PCD与△ACD，△PAB与△PAD等。图5-4（2）中有△AED与△CEB，△DGC与△BGA，△DFB与△GBC……

和共边三角形相联系的基本定理是

共边比例定理（以下简称共边定理）　若直线PQ和直线AB交于M，则。