一个平凡公式的巧妙应用

2023-10-17 理论教育版权反馈

【摘要】：显然有△PBC+△PCA+△PAB＝△ABC，也就是图5-1这里h是△ABC的高。从式马上得到x+y+z＝h。这表明，不管P在△ABC内什么位置，它到三边距离之和，总等于△ABC的高。这个平凡公式的巧妙运用，会使他们兴致盎然地进入几何大花园。从这个公式出发，逻辑上会有一个很大的缺口。相比之下，我们宁可采用一条形式上较弱，叙述起来也较简单的命题：图5-3基本命题如图5-3，设△ABC的AB边上有一点M。

美国著名的几何学家佩多在一篇题为《数学经验》的文章里，谈到这样一件有趣的事情：

一个经济学家打电话问他一个问题。这位经济学家说，他研究的一种新的经济理论，涉及这样一个几何命题：正三角形内的任一点，到三角形3边距离之和为定值。他问佩多这个命题对不对？如果对，又是为什么？

这位经济学家还说，他曾请教过别的数学专家，结果都没有得到满意的回答。

当然，佩多教授马上回答了这个问题。如图5-1，△ABC是正三角形，AB＝BC＝CA＝a，点P在△ABC内，P到BC、CA、AB三边的距离顺次是x、y、z。显然有△PBC+△PCA+△PAB＝△ABC，也就是

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图5-1

这里h是△ABC的高。从（5.1.1）式马上得到

x+y+z＝h。

这表明，不管P在△ABC内什么位置，它到三边距离之和，总等于△ABC的高。

解决这个问题就用到这一点几何知识：三角形面积等于底乘高的一半。这是小学生也知道的。有些初中几何教本，曾把这个问题编成一道习题。看来，那位经济学家和他所问的数学专家，已把小学和初中学过的这点东西忘光了。

还有这么一个问题，它极简单，却曾使一些具有相当数学素养的解题能手一时不知所措。

一块正方形的生日蛋糕（严格地说，是正四棱柱形的。因为这个正四棱柱的高相对较小，通常叫做方形蛋糕），表面上涂了薄薄一层美味的奶油，要均匀地分给5个孩子，该怎么分呢？

困难在于，不但要把体积分成5等份，同时表面积也要分成5等份。

也许你会想到：要是4个人分或8个人分就好了。不然，换成是圆形蛋糕或五星形蛋糕也好了。偏偏是方形蛋糕5个人来分！

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图5-2

先别抱怨！冷静地想一下，你会发现“方形”和“5个人来分”这两个条件，并没有给你增加什么困难。解法是出人意料的简单。只要找出正方形的中心——也就是两条对角线的交点O，再把正方形的每条边5等分，如图5-2，分别取等分点A、B、C、D、E，并把它们与中心O连成线段OA、OB、OC、OE。我们只要沿这些线段向蛋糕垂直下刀就可以了。

道理呢？只要用“三角形面积等于底乘高的一半”，算一算图5-2中的三角形的面积就知道了。设正方形边长为a，则AB＝AE＝，BM＝PE＝，MC＝PD＝，CN＝DN＝，而O到各边距离都是，于是(www.chuimin.cn)