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2025-09-29
面积法：古老的证题工具为你带来新视角
【摘要】：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。而且，面积很早就成为人们认识几何图形性质与证明几何定理的工具。勾股定理的证法，多达300余种。细心的读者会发现：把图4-1沿虚线剪掉一半，中国的古老证明就变成了加菲尔德的证明！从勾股定理的这几个证法，可以归纳出面积方法的一个基本模式：用不同的办法求出同一块面积，得到一个等式，再从这个等式推出所要的结论。
几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。这样的故事已经为人所熟知：在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次。洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界线标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。年复一年，人们就积累了最基本的几何知识。
这样，几何学从一开始便与面积结下了不解之缘。就连英语中的几何“Geometry”的字头“geo－”，也含有“土地”之意。而且，面积很早就成为人们认识几何图形性质与证明几何定理的工具。
勾股定理，这个被誉为“几何的基石”的重要定理，它的被发现与被证明，不管是在中国，还是在古希腊，都与面积有关。
勾股定理说：在直角三角形中，两直角边的平方之和等于斜边的平方。而我国古代把直角三角形较短的直角边叫“勾”，较长的直角边叫“股”，斜边叫“弦”。于是，勾股定理便被叙述为：勾方加股方等于弦方。这也是勾股定理名称的由来。
勾股定理的证法，多达300余种。一个最古老的精彩证法，出自我国古代无名数学家之手。我们不妨来鉴赏一下：
勾股定理证法之一
如图4-1，4个同样大小的直角三角形的斜边，围成了一个正方形。它们的直角边，围成了一个更大的正方形。（为什么？）
图4-1
由题意，大正方形面积
S1＝（a+b）2，
小正方形面积
S2＝c2，
而直角三角形面积
当然有
S1＝S2+4S△，
即
（a+b）2＝c2+2ab
展开整理之后，便得a2+b2＝c2。
这种证明方法影响很广，变种极多。下面只介绍两个有趣而简捷的证法。(https://www.chuimin.cn)
勾股定理证法之二
把两本大小一样的书，一横一竖并排放在一起，像图4-2那样。
图4-2
一方面，梯形ACDG的面积，按梯形面积公式来算应当是
另一方面，这个梯形可以分割成3个三角形：△ABG、△BCD、△GBD。我们注意到∠GBD是直角，便知道这3个三角形的面积顺次是
。因而得到
整理一下，便是a2+b2＝c2。
这个证法是美国第20届总统加菲尔德的杰作。细心的读者会发现：把图4-1沿虚线剪掉一半，中国的古老证明就变成了加菲尔德的证明！
从图4-2的“两本书”还可以演化出一个更简捷的证明。
勾股定理证法之三
图4-3
如图4-3，凹四边形ACFE可以分割成两个等腰直角三角形：△ABE和△FBC。两者的面积分别是
和
，即
另一方面，这个四边形又可以分割成△AFE和△AFC。前者面积等于
AF×EM，后者面积等于
AF×MC，这是因为直线AF⊥CE（为什么？），而点M是垂足。所以
立刻导出a2+b2＝c2。
从勾股定理的这几个证法，可以归纳出面积方法的一个基本模式：用不同的办法求出同一块面积，得到一个等式，再从这个等式推出所要的结论。这很像列方程式解应用题。面积，把几何与代数沟通起来了。
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